📌 문제 요약
수직선 위를 움직이는 점 P의 위치가 시간 \( t \geq 0 \)에서 \( x = t^4 + at^3 \) (단, \( a \)는 상수)로 주어졌을 때, 다음 두 조건이 주어집니다.
- \( t = 2 \)에서 속도가 0
- \( t = 0 \)에서 \( t = 2 \)까지 움직인 거리 구하기
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 속도 함수 \( v(t) \) 구하기
위치 함수 \( x = t^4 + at^3 \)를 미분하여 속도 함수를 구합니다.
$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = 4t^3 + 3at^2 $$
🔵 Step 2. 속도가 0인 조건에서 \( a \)값 구하기
문제에서 \( t = 2 \)일 때 속도가 0이라고 주어졌습니다.
$$ v(2) = 4(2)^3 + 3a(2)^2 = 32 + 12a = 0 $$
이 식을 풀면,
$$ 12a = -32 \Rightarrow a = -\frac{8}{3} $$
🔵 Step 3. 움직인 거리 구하기
이제 속도 함수는 다음과 같습니다.
$$ v(t) = 4t^3 + 3at^2 = 4t^3 + 3\left(-\frac{8}{3}\right)t^2 = 4t^3 – 8t^2 $$
움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한 값입니다.
$$ s = \int_0^2 |v(t)| \, dt = \int_0^2 |4t^3 – 8t^2| \, dt $$
🔵 Step 4. 절댓값 처리하기
식 \( 4t^3 – 8t^2 \)는 \( t = 0 \)부터 \( t = 2 \) 사이에서 부호가 바뀌는지 확인해야 합니다. 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$ 4t^3 – 8t^2 = 4t^2(t – 2) $$
즉, \( t = 2 \) 이전까지는 음수, 이후는 양수이므로 \( t \in [0, 2] \)에서는 음수입니다. 따라서 절댓값을 취하면 부호가 바뀝니다:
$$ s = \int_0^2 -(4t^3 – 8t^2) \, dt = \int_0^2 (8t^2 – 4t^3) \, dt $$
🔵 Step 5. 정적분 계산
$$ \int_0^2 (8t^2 – 4t^3) \, dt = \left[ \frac{8}{3}t^3 – t^4 \right]_0^2 = \left( \frac{8}{3}(8) – 16 \right) – 0 = \frac{64}{3} – 16 = \frac{64 – 48}{3} = \frac{16}{3} $$
✅ 최종 정답
정답: ①번, \( \boxed{\dfrac{16}{3}} \)
🧠 개념 정리: 꼭 알아야 할 개념
- 속도와 거리: 속도 \( v(t) \)를 시간에 대해 적분하면 이동한 거리. 단, 방향이 바뀌는 경우 절댓값 처리 필수!
- 속도 = 위치의 도함수: 위치 함수 \( x(t) \)를 미분하면 속도 \( v(t) \)를 얻을 수 있음.
- 절댓값 적분: 함수의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어 적분해야 함.