📌 문제 요약
함수 \( f(x) \) 가 다음과 같이 정의되어 있을 때, 옳은 보기를 고르는 문제입니다.
\[ f(x) = \begin{cases} a & (x \leq 1) \\ -x + 2 & (x > 1) \end{cases} \]
주어진 보기 중에서 참인 것들만 골라야 하며, 보기에는 극한값, 연속성 조건, 곱함수의 연속성 등이 포함되어 있습니다.
이제 아래 방식대로 문제를 아주 자세히 풀이하겠습니다.
- (1) 왜 그런 계산을 하는지 이유까지 설명
- (2) 식 하나하나를 해석하듯이 단계별로 설명
- (3) 마지막에는 핵심 개념도 함께 정리
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 보기 (ㄱ) 확인
보기 ㄱ: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 \)
함수 \( f(x) \) 는 \( x > 1 \)일 때, \( f(x) = -x + 2 \)이므로
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x + 2) = 1 \]
따라서 보기 ㄱ은 참입니다.
🔵 Step 2. 보기 (ㄴ) 확인
보기 ㄴ: \( a = 0 \)이면 함수 \( f(x) \) 는 \( x = 1 \)에서 연속이다.
\( a = 0 \)일 때, 왼쪽 극한은 다음과 같습니다.
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} a = 0 \]
반면 오른쪽 극한은:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x + 2) = 1 \]
좌극한과 우극한이 다르므로, 극한이 존재하지 않으며 연속이 아님. 따라서 보기 ㄴ은 거짓입니다.
🔵 Step 3. 보기 (ㄷ) 확인
보기 ㄷ: 함수 \( F(x) = (x – 1)f(x) \) 는 실수 전체에서 연속이다.
\( F(x) = (x – 1)f(x) \) 라고 두면, \( x = 1 \)을 제외한 모든 곳에서 연속함수의 곱이므로 연속입니다.
다만 \( x = 1 \)에서의 연속성은 따로 확인해야 합니다.
\( x \to 1^- \) 일 때: \[ \lim_{x \to 1^-} F(x) = \lim_{x \to 1^-} (x – 1)a = 0 \]
\( x \to 1^+ \) 일 때: \[ \lim_{x \to 1^+} F(x) = \lim_{x \to 1^+} (x – 1)(-x + 2) = 0 \]
그리고 \( F(1) = (1 – 1)f(1) = 0 \) 이므로
\[ \lim_{x \to 1} F(x) = F(1) = 0 \]
따라서 함수 \( F(x) \) 는 실수 전체에서 연속입니다. 보기 ㄷ은 참입니다.
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 연속성 판정: 좌극한 = 우극한 = 함수값 이어야 연속
- 함수의 곱의 연속성: 두 함수가 연속이고, \( f(x) \cdot g(x) \)도 정의되면 연속
- 우극한, 좌극한 계산: 각각의 구간에 맞는 함수식으로 극한값 따로 계산
✅ 최종 정답
정답: ③번, \(\boxed{\text{ㄱ, ㄷ}}\)