📌 문제 요약
함수 \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & (x \geq 3) \\ x + a & (x < 3) \end{cases} \) 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \( a \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 함수가 실수 전체에서 연속이기 위한 조건 확인
주어진 함수는 구간이 나뉘어져 있는 절댓값 함수, 분수 함수, 또는 구간별 정의 함수의 전형적인 형태입니다. 이런 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면 연결점에서 연속이어야 합니다.
따라서 \( x = 3 \)에서만 연속이 되는지 확인하면 전체 연속성을 보장할 수 있습니다.
🔵 Step 2. \( x = 3 \)에서 연속의 정의 적용
연속이 되기 위해서는 다음 조건이 필요합니다:
- \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) \)
▶ 좌극한 계산 (x가 3보다 작을 때)
\( x < 3 \)일 때는 \( f(x) = x + a \)이므로
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 3 + a \)
▶ 우극한 계산 (x가 3보다 클 때)
\( x \geq 3 \)일 때는 \( f(x) = x^2 + 1 \)이므로
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \)
🔵 Step 3. 좌극한 = 우극한 = 함수값 조건 만족시키기
연속이기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 하므로,
\( 3 + a = 10 \)
양변에서 3을 빼면:
\( a = 7 \)
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 구간별 정의된 함수의 연속성: 경계점에서 좌극한 = 우극한 = 함수값이면 연속이다.
- 극한값 구하기: 구간에 따라 정의된 식을 각각 적용해서 계산한다.
✅ 최종 정답
정답: ④번, \( \boxed{7} \)