📌 문제 요약
이 문제는 다음과 같은 구간별로 정의된 함수 \( f(x) \) 가 주어졌을 때, 점 \( x = 1 \)에서 연속이 되도록 하는 상수 \( a \)의 값을 구하는 문제입니다.
주어진 함수는 아래와 같습니다:
\[ f(x) = \begin{cases} -2x & (x < 1) \\ x^2 – a & (x \geq 1) \end{cases} \]
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 연속의 정의 복습하기
함수 \( f(x) \)가 \( x = 1 \)에서 연속이 되기 위해서는 다음 세 조건이 모두 성립해야 합니다:
- \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\) 존재
- \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\) 존재
- 좌우 극한값이 같고 함수값도 같아야 한다. 즉,
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \]
🔵 Step 2. 좌극한 계산하기
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} -2x = -2 \times 1 = -2 \]
🔵 Step 3. 우극한 및 함수값 계산하기
우극한과 함수값은 두 번째 식 \( x \geq 1 \)에 따라 결정됩니다:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 – a = 1 – a \]
🔵 Step 4. 연속 조건을 통해 a의 값 구하기
연속이 되기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 하므로,
\[ -2 = 1 – a \]
양변에 \( a \)를 더하고, \( -2 \)를 넘기면:
\[ a = 3 \]
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 구간별 정의된 함수의 연속성 문제는
좌극한 = 우극한 = 함수값을 이용해 푸는 것이 핵심 - 좌우 극한을 각각 구한 뒤, 이들이 같아지도록 미지수 \( a \)를 결정
✅ 최종 정답
⑤번, \( \boxed{a = 3} \)