📌 문제 요약
이 문제는 평균 변화율이 주어진 이차함수에서 미분 값을 구하는 문제입니다.
조건에 따라 함수의 식을 만들고, 도함수를 구해 원하는 값을 계산하는 것이 핵심이에요.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 함수의 일반형 세우기
“최고차항의 계수가 1인 이차함수”라고 했으므로, 함수 f(x)는 다음과 같이 쓸 수 있어요.
\( f(x) = x^2 + ax + b \)
(단, a, b는 상수)
🔵 Step 2. 평균 변화율 조건 적용
문제에선 x가 0에서 6까지 변할 때 평균 변화율이 0이라고 했어요.
평균 변화율은 다음과 같이 구합니다:
\[ \frac{f(6) – f(0)}{6 – 0} = 0 \]
이제 \( f(6) \)과 \( f(0) \)을 함수식에 넣어 구해볼게요.
- \( f(6) = 6^2 + 6a + b = 36 + 6a + b \)
- \( f(0) = 0^2 + 0a + b = b \)
따라서, \[ \frac{36 + 6a + b – b}{6} = 0 \Rightarrow \frac{36 + 6a}{6} = 0 \Rightarrow 6a + 36 = 0 \]
따라서 \( a = -6 \)이 됩니다.
🔵 Step 3. 도함수 구하기
함수 \( f(x) = x^2 -6x + b \)의 도함수를 구해볼게요.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 – 6x + b) = 2x – 6 \]
🔵 Step 4. f'(4) 계산하기
이제 \( x = 4 \)를 도함수에 대입하면,
\[ f'(4) = 2 \cdot 4 – 6 = 8 – 6 = 2 \]
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 평균 변화율: \(\frac{f(b) – f(a)}{b – a}\)로 정의되며, 도함수와 연결되는 중요한 개념입니다.
- 도함수: 함수의 기울기를 나타내며, \( f(x) = ax^2 + bx + c \)일 때 도함수는 \( f'(x) = 2ax + b \)
✅ 최종 정답
정답: ①번, \(\boxed{2}\)