📌 문제 요약
다항식 \( f(x) = (x – p)(x – q)(x – r) \) 가 주어졌고, 여기서 \( p, q, r \) 은 서로 다른 실수입니다.
이때 다음 식의 값을 구하는 문제입니다:
\[ \frac{p^2}{f'(p)} + \frac{q^2}{f'(q)} + \frac{r^2}{f'(r)} \]
이제부터 아래 원칙에 따라 아주 자세하게 풀이해드릴게요.
- (1) 왜 그렇게 푸는지 이유까지 설명
- (2) 식을 한 줄 한 줄 해석하듯이 설명
- (3) 마무리에는 개념 정리까지!
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 함수의 도함수 구하기
함수 \( f(x) = (x – p)(x – q)(x – r) \) 의 도함수는 곱의 미분법을 이용해서 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[ f'(x) = (x – q)(x – r) + (x – r)(x – p) + (x – p)(x – q) \]
이 표현은 각각의 항을 하나씩 고정하고 나머지를 곱한 형태입니다.
🔵 Step 2. 각 항 계산
이제 식 \[ \frac{p^2}{f'(p)} + \frac{q^2}{f'(q)} + \frac{r^2}{f'(r)} \] 의 값을 계산합니다.
우선 \( f'(p) \) 를 구하면 다음과 같습니다: \[ f'(p) = (p – q)(p – r) \]
같은 방식으로, \[ f'(q) = (q – r)(q – p), \quad f'(r) = (r – p)(r – q) \]
따라서 전체 식은 다음과 같습니다: \[ \frac{p^2}{(p – q)(p – r)} + \frac{q^2}{(q – r)(q – p)} + \frac{r^2}{(r – p)(r – q)} \]
🔵 Step 3. 통분 및 합치기
위 식을 공통분모를 기준으로 통분해서 정리해봅니다.
\[ \frac{p^2 (q – r) – q^2 (p – r) + r^2 (p – q)}{(p – q)(p – r)(q – r)} \]
분자를 정리해주면, \[ p^2(q – r) – q^2(p – r) + r^2(p – q) \]
🔵 Step 4. 분자 정리하기
위 식을 인수 정리하면 다음과 같이 됩니다: \[ p^2(q – r) – q^2(p – r) + r^2(p – q) = (p – q)(q – r)(r – p) \]
결국 전체 분수식은 다음과 같고, \[ \frac{(p – q)(q – r)(r – p)}{(p – q)(p – r)(q – r)} = 1 \]
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 다항함수의 도함수: 곱의 미분법을 적용하여 도함수를 구함
- 서로 다른 3개의 근을 가진 삼차함수: 근을 중심으로 한 도함수 식이 간단히 정리됨
- 통분 및 정리: 전체 분모가 공통이 되도록 통분한 후, 분자를 정리해서 해를 도출
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \(\boxed{1}\)