📌 문제 요약
이 문제는 다음과 같은 구간별 함수가 주어졌을 때,
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & (x < 1) \\ bx - 1 & (x \geq 1) \end{cases}$$
이 함수가 \( x = 1 \)에서 미분 가능할 조건을 만족하는 두 상수 \( a, b \)에 대해 \( a + b \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 미분 가능 조건을 확인하자
함수가 어떤 점 \( x = c \)에서 미분 가능하려면 두 가지 조건을 만족해야 합니다:
- 1️⃣ 함수가 그 점에서 연속해야 함
- 2️⃣ 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 함
🔵 Step 2. 연속 조건: 함수 값이 좌우 같아야
\( x = 1 \)에서 연속이 되려면 좌측 함수와 우측 함수가 \( x = 1 \)에서 값을 같게 가져야 합니다.
좌측 함수는 \( g(x) = x^2 + a \), 우측 함수는 \( h(x) = bx – 1 \) 이므로,
$$g(1) = 1^2 + a = 1 + a$$ $$h(1) = b \cdot 1 – 1 = b – 1$$ $$\Rightarrow 1 + a = b – 1$$
🔵 Step 3. 미분 조건: 좌우 미분계수 일치
각 함수의 도함수를 구해보면,
$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + a) = 2x, \quad h'(x) = \frac{d}{dx}(bx – 1) = b$$
그러므로 \( x = 1 \)에서의 미분 가능 조건은,
$$g'(1) = h'(1) \Rightarrow 2 \cdot 1 = b \Rightarrow b = 2$$
🔵 Step 4. b 값을 이용해 a 값 구하기
앞서 구한 연속 조건식 \( 1 + a = b – 1 \)에 \( b = 2 \)를 대입하면,
$$1 + a = 2 – 1 = 1 \Rightarrow a = 0$$
🔵 Step 5. a + b의 값을 구하자
이제 \( a = 0 \), \( b = 2 \)이므로, 원하는 값은
$$a + b = 0 + 2 = \boxed{2}$$
🧠 마무리 정리
- 연속이 되려면 함수 값이 좌우 같아야 함: \( f(1^-) = f(1^+) \)
- 미분 가능하려면 좌우 도함수 값도 같아야 함: \( f'(1^-) = f'(1^+) \)
- 구간별 함수에서는 좌, 우 도함수를 각각 구해서 비교하는 것이 핵심
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \( \boxed{2} \)