📌 문제 이해하기
주어진 수:
\[ 4 \times 3^3 \times 5^x \]이 수의 약수의 개수가 36일 때, 자연수 \( x \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 주어진 수를 소인수 분해하기
우선, 각 숫자를 소인수 분해하여 곱의 형태로 나타내겠습니다.
\[ 4 = 2^2, \quad 3^3 = 3^3, \quad 5^x = 5^x \]따라서, 주어진 수는 다음과 같이 정리됩니다.
\[ 4 \times 3^3 \times 5^x = 2^2 \times 3^3 \times 5^x \][Step 2] 약수의 개수 공식 적용
자연수 \( N = p^a \times q^b \times r^c \)의 약수의 개수 공식은 다음과 같습니다.
\[ \text{약수의 개수} = (a+1)(b+1)(c+1) \]이를 주어진 수 \( 2^2 \times 3^3 \times 5^x \)에 적용하면:
\[ (2+1) \times (3+1) \times (x+1) = 36 \]즉,
\[ 3 \times 4 \times (x+1) = 36 \][Step 3] 방정식 풀기
주어진 식을 정리해 보겠습니다.
\[ 12 \times (x+1) = 36 \]양변을 12로 나누면:
\[ x+1 = 3 \]따라서,
\[ x = 2 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{2} \]📝 마무리 정리
- 주어진 수를 소인수 분해하여 \( 2^2 \times 3^3 \times 5^x \)의 형태로 변형하였습니다.
- 약수의 개수 공식을 적용하여 \( (2+1)(3+1)(x+1) = 36 \)이라는 식을 도출하였습니다.
- 방정식을 풀어 \( x = 2 \)임을 확인하였습니다.
따라서, 정답은 \( x = 2 \) 입니다.