📌 문제 이해하기
자연수 \( a \)를 504에 곱하여 어떤 자연수의 제곱수가 되도록 할 때, 가장 작은 \( a \)의 값을 구하는 문제입니다.
즉, \( 504 \times a \)가 완전제곱수가 되도록 하는 최소 \( a \)를 찾는 것입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 504의 소인수 분해
먼저 504를 소인수 분해해 보겠습니다.
\[ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 \]여기서 완전제곱수가 되려면, 각 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
[Step 2] 부족한 지수 확인하기
- \( 2^3 \): 지수가 3이므로, 한 개의 \( 2 \)를 추가하여 지수를 짝수(4)로 만들어야 함.
- \( 3^2 \): 이미 지수가 짝수이므로 추가할 필요 없음.
- \( 7^1 \): 지수가 1이므로, 한 개의 \( 7 \)을 추가하여 지수를 짝수(2)로 만들어야 함.
따라서, \( a \)에 포함해야 할 최소 곱셈 요소는:
\[ a = 2 \times 7 = 14 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{14} \]📝 마무리 정리
- 504를 소인수 분해하면 \( 2^3 \times 3^2 \times 7 \)이 됩니다.
- 완전제곱수가 되려면 각 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- \( 2^3 \)에서 \( 2 \) 한 개 추가, \( 7^1 \)에서 \( 7 \) 한 개 추가가 필요합니다.
- 따라서, 최소한으로 곱해야 하는 수는 \( 2 \times 7 = 14 \)입니다.
따라서, \( a = 14 \)가 최소값이 됩니다.