📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 자리 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자 사이의 관계, 그리고 그 자연수와 각 자릿수 합 사이의 관계가 주어졌을 때, 원래의 자연수를 구하는 문제입니다. 문제에서 십의 자리 숫자를 \(x\)로 설정하라고 했으므로, 이를 이용하여 다른 값들을 표현하고 방정식을 세워 해결합니다.
- 미지수 설정 및 다른 자릿수 표현: 십의 자리 숫자를 \(x\)로 설정합니다. “십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 2만큼 크다”는 조건을 이용하여 일의 자리 숫자를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- (1) 각 자릿수의 합 표현: 십의 자리 숫자(\(x\))와 일의 자리 숫자를 더하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 두 자리 자연수 표현: 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 이용하여 두 자리 자연수를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다. (자연수 = \(10 \times (\text{십의 자리}) + (\text{일의 자리})\))
- (2) 방정식 설정: “이 자연수는 각 자릿수의 합의 7배와 같다”는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 세웁니다. \((\text{자연수}) = 7 \times (\text{각 자릿수의 합})\)
- 방정식 풀이 및 \(x\) 값 구하기: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다. \(x\)는 십의 자리 숫자이므로 1부터 9까지의 정수여야 합니다.
- 자연수 구하기: 구한 \(x\) 값을 이용하여 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 확정하고, 처음 두 자리 자연수를 구합니다.
두 자리 자연수 표현:
십의 자리 숫자가 \(a\), 일의 자리 숫자가 \(b\)일 때, 두 자리 자연수는 \(10a + b\)로 표현됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 일의 자리 숫자 표현
십의 자리 숫자를 \(x\)라고 설정합니다.
문제 조건 “십의 자리의 숫자가 일의 자리의 숫자보다 2만큼 크다”에서,
$$ x = (\text{일의 자리 숫자}) + 2 $$
따라서 일의 자리 숫자는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ \text{일의 자리 숫자} = x – 2 $$
자릿수는 0부터 9까지의 정수입니다. 십의 자리 숫자인 \(x\)는 1~9의 정수이고, 일의 자리 숫자인 \(x-2\)는 0~9의 정수여야 합니다. 따라서 \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\) 이고 \(x \le 9\) 이므로, \(x\)는 2부터 9까지의 정수입니다.
(1) 각 자릿수의 합을 \(x\)를 사용한 식으로 나타내어라.
Step 2: 각 자릿수의 합 계산
각 자릿수의 합은 (십의 자리 숫자) + (일의 자리 숫자) 입니다.
$$ \text{각 자릿수의 합} = x + (x – 2) $$
식을 간단히 합니다.
$$ = 2x – 2 $$
따라서 각 자릿수의 합은 \(2x – 2\)입니다.
(2) 이 자연수를 구하여라.
Step 3: 두 자리 자연수 식으로 표현하기
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(x-2\)이므로, 이 두 자리 자연수는 다음과 같습니다.
$$ \text{자연수} = 10 \times (\text{십의 자리 숫자}) + (\text{일의 자리 숫자}) $$
$$ = 10x + (x – 2) $$
$$ = 11x – 2 $$
Step 4: 방정식 설정
문제 조건 “이 자연수는 각 자릿수의 합의 7배와 같다”를 식으로 나타냅니다.
$$ (\text{자연수}) = 7 \times (\text{각 자릿수의 합}) $$
Step 2와 Step 3에서 구한 식을 대입합니다.
$$ 11x – 2 = 7(2x – 2) $$
Step 5: 방정식 풀이 (\(x\) 값 구하기)
세워진 일차방정식 \(11x – 2 = 7(2x – 2)\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
우변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ 11x – 2 = 14x – 14 $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 우변으로, 상수항을 좌변으로 이항합니다.
$$ -2 + 14 = 14x – 11x $$
동류항을 계산합니다.
$$ 12 = 3x $$
양변을 3으로 나눕니다.
$$ x = \frac{12}{3} = 4 $$
십의 자리 숫자 \(x\)는 4입니다. 이는 Step 1에서 확인한 \(x\)의 범위(2~9)에 포함되므로 유효한 값입니다.
Step 6: 자연수 구하기
십의 자리 숫자 \(x = 4\)입니다.
일의 자리 숫자는 \(x – 2 = 4 – 2 = 2\)입니다.
따라서 구하고자 하는 두 자리 자연수는 십의 자리가 4, 일의 자리가 2인 수, 즉 42입니다.
검산: 각 자릿수의 합은 \(4 + 2 = 6\)입니다. 자연수 42는 각 자릿수의 합(6)의 7배 (\(6 \times 7 = 42\))와 같습니다. 문제의 조건과 일치합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 유사하게 자연수의 자릿값 표현과 일차방정식을 활용하는 문제입니다. 추가적으로 각 자릿수 간의 관계와 자연수 자체와 자릿수 합 사이의 관계를 식으로 표현해야 합니다.
- 자릿수 관계 표현: “십의 자리가 일의 자리보다 2 크다”와 같은 조건을 미지수를 이용하여 식으로 나타냅니다. (\(x = y + 2\) 또는 \(y = x – 2\))
- 자연수와 자릿수 합의 관계: 두 자리 자연수(\(10x+y\))와 각 자릿수의 합(\(x+y\)) 사이의 관계를 방정식으로 설정합니다.
- 연립 또는 일차방정식 풀이: 설정된 관계식들을 이용하여 하나의 미지수에 대한 일차방정식으로 만들어 해를 구하거나, 두 미지수에 대한 연립방정식으로 풀 수 있습니다. (이 풀이에서는 일차방정식으로 해결)
- 자릿수 조건 확인: 구해진 미지수 값이 자릿수로서 유효한 범위(0~9 정수, 십의 자리는 1~9)에 있는지 확인합니다.
두 자리 또는 세 자리 자연수 관련 문제는 자릿값 표현(\(10a+b\), \(100a+10b+c\))을 정확히 사용하고, 문제에서 주어진 조건들을 빠짐없이 식으로 옮기는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
(1) 각 자릿수의 합: \(2x – 2\)
(2) 이 자연수: 42