📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 길이가 5m인 끈을 형과 동생이 나누어 가졌을 때, 형이 가진 끈의 길이와 동생이 가진 끈의 길이 사이에 특정 관계(“형이 가진 끈의 길이가 동생이 가진 끈의 길이의 2배보다 \(\frac{4}{3}\)m만큼 짧다”)가 성립할 때, 형이 가진 끈의 길이를 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “형이 가진 끈의 길이”를 미지수 \(x\) m로 설정합니다. (길이는 0 이상 총 길이 이하: \(0 \le x \le 5\))
- 다른 변수 표현: 총 끈의 길이가 5m이므로, 동생이 가진 끈의 길이를 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 방정식 설정: 문제에서 주어진 조건 “형이 가진 끈의 길이(\(x\))가 동생이 가진 끈의 길이(\(5-x\))의 2배보다 \(\frac{4}{3}\)m만큼 짧다”를 \(x\)에 대한 일차방정식으로 세웁니다. \((\text{형의 길이}) = 2 \times (\text{동생의 길이}) – \frac{4}{3}\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 확인: 구한 \(x\) 값이 문제에서 요구하는 형이 가진 끈의 길이가 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
형이 가진 끈의 길이를 \(x\) m라고 설정합니다. 끈의 일부이므로 \(0 \le x \le 5\)입니다.
Step 2: 동생이 가진 끈의 길이 표현
총 끈의 길이가 5m이고, 형이 \(x\)m를 가졌으므로, 동생이 가진 끈의 길이는 다음과 같습니다.
$$ \text{동생이 가진 끈의 길이} = 5 – x \text{ (m)} $$
이 길이도 0 이상이어야 하므로 \(5 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 5\)입니다.
Step 3: 방정식 설정
문제의 조건 “형이 가진 끈의 길이(\(x\))가 동생이 가진 끈의 길이(\(5-x\))의 2배보다 \(\frac{4}{3}\)m만큼 짧다”를 식으로 나타냅니다.
“짧다”는 것은 빼는 것을 의미합니다.
$$ (\text{형의 길이}) = 2 \times (\text{동생의 길이}) – \frac{4}{3} $$
Step 1과 Step 2에서 설정하고 표현한 식을 대입합니다.
$$ x = 2(5 – x) – \frac{4}{3} $$
Step 4: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \(x = 2(5 – x) – \frac{4}{3}\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
먼저 우변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ x = 2 \times 5 – 2 \times x – \frac{4}{3} $$
$$ x = 10 – 2x – \frac{4}{3} $$
분수를 없애기 위해 양변에 3을 곱합니다.
$$ 3 \times x = 3 \times \left(10 – 2x – \frac{4}{3}\right) $$
$$ 3x = (3 \times 10) – (3 \times 2x) – (3 \times \frac{4}{3}) $$
$$ 3x = 30 – 6x – 4 $$
우변의 상수항을 계산합니다.
$$ 3x = -6x + 26 $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 좌변으로 이항합니다.
$$ 3x + 6x = 26 $$
동류항을 계산합니다.
$$ 9x = 26 $$
양변을 9로 나누어 \(x\)를 구합니다.
$$ x = \frac{26}{9} $$
\(x = \frac{26}{9}\)는 \(0\)과 \(5\) 사이의 값이므로 유효합니다. (\(\frac{26}{9} \approx 2.89\))
Step 5: 답 확인
미지수 \(x\)는 형이 가진 끈의 길이를 의미합니다.
따라서 형이 가진 끈의 길이는 \(\frac{26}{9}\) m 입니다.
검산: 형의 길이 \(x = \frac{26}{9}\) m. 동생의 길이 \(5 – x = 5 – \frac{26}{9} = \frac{45-26}{9} = \frac{19}{9}\) m.
동생 길이의 2배 = \(2 \times \frac{19}{9} = \frac{38}{9}\) m.
동생 길이의 2배보다 \(\frac{4}{3}\) (\(=\frac{12}{9}\))만큼 짧은 길이 = \(\frac{38}{9} – \frac{12}{9} = \frac{26}{9}\) m. 이는 형의 길이와 일치합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 전체 양을 두 부분으로 나누는 상황에서, 두 부분의 양 사이에 특정 관계가 주어졌을 때 각 부분의 양을 구하는 일차방정식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정 및 관계 표현: 구하고자 하는 값(형의 끈 길이)을 미지수 \(x\)로 설정하고, 다른 값(동생의 끈 길이)을 전체 양과 \(x\)를 이용하여 (\(5-x\))로 표현합니다.
- 조건을 방정식으로 변환: 문제의 핵심 조건(“A는 B의 ~배보다 ~만큼 짧다/길다”)을 등식으로 정확하게 나타냅니다. “A가 B보다 k만큼 짧다”는 \(A = B – k\), “A가 B보다 k만큼 길다”는 \(A = B + k\)로 표현됩니다.
- 일차방정식 풀이: 괄호 풀기, 분수 계수 처리(양변에 분모의 최소공배수 곱하기), 이항, 동류항 계산, 양변 나누기 등의 과정을 통해 정확하게 해를 구합니다.
- 현실적인 해 확인: 구해진 해가 문제의 맥락(길이는 0 이상, 전체 길이 이하)에 맞는지 확인합니다.
총량이 주어지고 두 부분으로 나누는 문제는 한 부분을 \(x\)로 두면 다른 부분은 (총량 – \(x\))로 표현하는 것이 일반적인 접근 방식입니다.
✅ 최종 정답
③ \(\frac{26}{9}\) m