📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 처음 직사각형의 가로 길이를 늘렸을 때 변화된 넓이와 처음 넓이 사이의 관계를 이용하여, 가로 길이를 얼마나 늘렸는지 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 처음 직사각형 정보 분석: 처음 직사각형의 가로(30cm), 세로(10cm) 길이를 확인하고, 처음 넓이를 계산합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “늘린 가로의 길이”를 미지수 \(x\) cm로 설정합니다. (길이는 양수여야 하므로 \(x > 0\))
- 변화된 직사각형 정보 표현: 가로 길이를 늘린 후의 새로운 가로 길이를 \(x\)를 이용하여 나타냅니다. (세로 길이는 변하지 않습니다.)
- 변화된 넓이 식으로 표현: 변화된 직사각형의 넓이를 넓이 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 설정: 문제에서 주어진 조건 “변화된 넓이가 처음 직사각형 넓이의 3배하고도 50 cm² 더 넓어졌다”를 이용하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 세웁니다. \((\text{변화된 넓이}) = 3 \times (\text{처음 넓이}) + 50\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 확인: 구한 \(x\) 값이 문제에서 요구하는 늘어난 길이가 됩니다.
기본 공식:
$$ (\text{직사각형 넓이}) = (\text{가로}) \times (\text{세로}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 처음 직사각형 정보 분석 및 넓이 계산
처음 직사각형의 가로 길이는 30 cm, 세로 길이는 10 cm입니다.
처음 직사각형의 넓이를 계산합니다.
$$ \text{처음 넓이} = 30 \times 10 = 300 \text{ (cm²)} $$
Step 2: 미지수 설정 및 변화된 가로 길이 표현
가로를 \(x\) cm 더 늘렸다고 설정합니다. 길이를 늘렸으므로 \(x > 0\)입니다.
변화된 직사각형의 가로 길이는 처음 가로 길이에 늘어난 길이를 더한 값입니다.
$$ \text{변화된 가로 길이} = 30 + x \text{ (cm)} $$
세로 길이는 변하지 않았으므로 10 cm입니다.
Step 3: 변화된 넓이 식으로 표현하기
변화된 직사각형의 넓이를 계산합니다.
$$ \text{변화된 넓이} = (\text{변화된 가로 길이}) \times (\text{세로 길이}) $$
$$ = (30 + x) \times 10 \text{ (cm²)} $$
Step 4: 방정식 설정
문제의 조건 “변화된 넓이가 처음 직사각형 넓이의 3배하고도 50 cm² 더 넓어졌다”를 식으로 나타냅니다.
$$ (\text{변화된 넓이}) = 3 \times (\text{처음 넓이}) + 50 $$
Step 1과 Step 3에서 구한 식을 대입합니다.
$$ (30 + x) \times 10 = 3 \times 300 + 50 $$
Step 5: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \((30 + x) \times 10 = 3 \times 300 + 50\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
좌변의 괄호를 풀고 우변을 계산합니다.
$$ 300 + 10x = 900 + 50 $$
$$ 300 + 10x = 950 $$
상수항 300을 우변으로 이항합니다.
$$ 10x = 950 – 300 $$
$$ 10x = 650 $$
양변을 10으로 나눕니다.
$$ x = \frac{650}{10} = 65 $$
\(x=65\)는 \(x>0\) 조건을 만족합니다.
Step 6: 답 확인
미지수 \(x\)는 가로를 더 늘린 길이를 의미합니다.
따라서 가로를 65 cm 더 늘렸습니다.
검산: 늘린 후 가로 길이는 \(30+65=95\) cm. 변화된 넓이는 \(95 \times 10 = 950\) cm². 처음 넓이(300)의 3배는 900 cm². 900에 50을 더하면 950 cm²가 되어 조건과 일치합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직사각형의 넓이 공식을 이용하여 변화 전후의 상태를 비교하고, 주어진 조건을 일차방정식으로 나타내어 해결하는 기본적인 도형 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직사각형 넓이 공식: \((\text{넓이}) = (\text{가로}) \times (\text{세로})\)
- 변화된 값 표현: 원래 값에서 특정 값만큼 늘어나거나 줄어든 변화 후의 값을 미지수를 사용하여 정확하게 표현해야 합니다. (예: \(30+x\))
- 조건을 방정식으로 변환: “A는 B의 ~배 하고도 ~만큼 더 크다/작다” 와 같은 문장 조건을 등식으로 올바르게 옮겨야 합니다. \(A = k \times B + m\) 또는 \(A = k \times B – m\) 형태가 됩니다.
- 일차방정식 풀이: 괄호 풀기, 이항, 동류항 계산, 양변 나누기 등의 기본 계산을 정확히 수행하여 해를 구합니다.
도형의 길이, 넓이, 부피 등이 변화하는 문제는 변화 전후의 상태를 각각 식으로 표현하고, 그들 사이의 관계를 방정식 또는 부등식으로 나타내는 방식으로 접근하는 것이 일반적입니다.
✅ 최종 정답
④ 65cm