📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 특정 사각형의 넓이가 주어지고, 변의 길이가 미지수 \(x\)를 포함한 식으로 표현되어 있을 때, \(x\)의 값을 구하는 일차방정식 활용 문제입니다. 주어진 사각형은 일반적인 사각형 넓이 공식을 바로 적용하기 어려우므로, 보조선을 그어 두 개의 삼각형으로 나누어 넓이를 계산하는 전략을 사용합니다.
- 도형 분할: 그림의 사각형에 대각선을 그어 두 개의 삼각형(위쪽 삼각형, 아래쪽 삼각형)으로 나눕니다. 해설에서는 두 꼭지점을 연결하는 대각선을 사용한 것으로 보입니다.
- 각 삼각형 넓이 계산: 각 삼각형의 밑변과 높이를 파악하고, 삼각형 넓이 공식을 이용하여 각 삼각형의 넓이를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 위쪽 삼각형: 밑변 \(5x-1\), 높이 6
- 아래쪽 삼각형: 밑변 \(3x+6\), 높이 7
- 방정식 설정: 두 삼각형 넓이의 합이 전체 사각형의 넓이(69)와 같다는 방정식을 세웁니다. \((\text{위쪽 삼각형 넓이}) + (\text{아래쪽 삼각형 넓이}) = 69\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 확인: 구한 \(x\) 값이 문제에서 요구하는 답이 됩니다. (필요시 변의 길이가 양수가 되는지 확인)
기본 공식:
$$ (\text{삼각형 넓이}) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 도형 분할 및 각 삼각형 정보 파악
주어진 사각형에 왼쪽 위 꼭짓점과 오른쪽 아래 꼭짓점을 잇는 대각선을 그으면, 사각형은 두 개의 삼각형으로 나누어집니다.
- 위쪽 삼각형: 밑변으로 \((5x-1)\)을, 높이로 6을 갖는다고 볼 수 있습니다.
- 아래쪽 삼각형: 밑변으로 \((3x+6)\)을, 높이로 7을 갖는다고 볼 수 있습니다.
(주의: 그림 상으로는 각 변과 높이가 수직인 것처럼 보이지만, 정확히는 삼각형 넓이 공식을 적용할 수 있는 밑변과 높이 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 해설은 그림의 형태를 바탕으로 위와 같이 해석했습니다.)
Step 2: 각 삼각형의 넓이 식으로 표현하기
삼각형 넓이 공식을 이용하여 각 삼각형의 넓이를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
위쪽 삼각형 넓이:
$$ \text{넓이}_1 = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times (5x – 1) \times 6 = 3(5x – 1) $$
아래쪽 삼각형 넓이:
$$ \text{넓이}_2 = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times (3x + 6) \times 7 = \frac{7}{2}(3x + 6) $$
Step 3: 방정식 설정
두 삼각형 넓이의 합이 전체 사각형의 넓이 69와 같습니다.
$$ \text{넓이}_1 + \text{넓이}_2 = 69 $$
$$ 3(5x – 1) + \frac{7}{2}(3x + 6) = 69 $$
Step 4: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \(3(5x – 1) + \frac{7}{2}(3x + 6) = 69\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
분수를 없애기 위해 양변에 2를 곱합니다.
$$ 2 \times [3(5x – 1)] + 2 \times [\frac{7}{2}(3x + 6)] = 2 \times 69 $$
$$ 6(5x – 1) + 7(3x + 6) = 138 $$
괄호를 풀어줍니다.
$$ (30x – 6) + (21x + 42) = 138 $$
좌변의 동류항을 계산합니다.
$$ (30x + 21x) + (-6 + 42) = 138 $$
$$ 51x + 36 = 138 $$
상수항 36을 우변으로 이항합니다.
$$ 51x = 138 – 36 $$
$$ 51x = 102 $$
양변을 51로 나눕니다.
$$ x = \frac{102}{51} = 2 $$
Step 5: 답 확인
방정식의 해는 \(x = 2\)입니다. 이 값이 문제에서 요구하는 \(x\)의 값입니다.
변의 길이가 양수인지 확인: \(5x-1 = 5(2)-1 = 9 > 0\), \(3x+6 = 3(2)+6 = 12 > 0\). 모든 변의 길이가 양수이므로 유효한 해입니다.
검산: 위쪽 삼각형 넓이 = \(3(5(2)-1) = 3(9) = 27\). 아래쪽 삼각형 넓이 = \(\frac{7}{2}(3(2)+6) = \frac{7}{2}(12) = 42\). 두 넓이의 합 = \(27 + 42 = 69\). 문제에서 주어진 넓이와 일치합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 사각형을 삼각형으로 분할하여 넓이를 계산하고, 이를 이용해 일차방정식을 세워 미지수를 구하는 도형 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도형 분할 전략: 복잡하거나 직접 넓이를 구하는 공식을 모르는 도형은, 넓이를 아는 기본 도형(주로 삼각형) 여러 개로 나누어 각 부분의 넓이를 구한 후 합하는 방식으로 접근할 수 있습니다.
- 삼각형 넓이 공식: \((\text{넓이}) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\). 문제의 그림에서 주어진 길이들이 각각 어떤 삼각형의 밑변과 높이에 해당하는지 정확히 파악해야 합니다.
- 일차방정식 설정 및 풀이: 도형의 넓이 합에 대한 조건을 이용하여 미지수를 포함하는 등식을 세우고, 기본적인 방정식 풀이 과정을 통해 해를 구합니다. 분수 계수가 포함된 경우 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 만들면 계산이 편리합니다.
도형 문제는 주어진 그림과 정보를 정확히 해석하고, 알고 있는 도형의 성질 및 넓이/둘레 공식을 적용하여 방정식을 세우는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(x = 2\)