📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 직육면체의 가로, 세로 길이와 겉넓이가 주어졌을 때, 높이를 구하는 일차방정식 활용 문제입니다. 직육면체의 겉넓이 공식을 정확히 알고 적용하는 것이 핵심입니다.
- 주어진 정보 확인: 직육면체의 가로 = 7cm, 세로 = 3cm, 겉넓이 = 282 cm².
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 직육면체의 높이를 미지수 \(x\) cm로 설정합니다. (높이는 양수이므로 \(x > 0\))
- 겉넓이 공식 적용: 직육면체의 겉넓이는 3가지 종류의 면(밑면, 앞/뒷면, 옆면)이 각각 2개씩 있는 것의 넓이 합입니다. 이를 이용하여 겉넓이를 가로, 세로, 높이(\(x\))에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 설정: 계산된 겉넓이 식이 주어진 겉넓이 값(282)과 같다는 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 확인: 구한 \(x\) 값이 문제에서 요구하는 높이가 됩니다.
직육면체 (가로 \(a\), 세로 \(b\), 높이 \(c\))의 겉넓이 공식:
겉넓이 \(S = 2 \times (\text{밑넓이}) + 2 \times (\text{옆넓이1}) + 2 \times (\text{옆넓이2})\)
$$ S = 2(ab + bc + ca) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 정보 및 미지수 설정
직육면체의 가로 길이 \(a = 7\) cm
직육면체의 세로 길이 \(b = 3\) cm
직육면체의 높이를 \(x\) cm라고 설정합니다. (\(c = x\))
직육면체의 겉넓이 \(S = 282\) cm²
Step 2: 겉넓이 공식을 이용한 방정식 설정
직육면체의 겉넓이 공식을 적용합니다.
$$ S = 2(ab + bc + ca) $$
주어진 값과 미지수를 대입합니다.
$$ 282 = 2(7 \times 3 + 3 \times x + x \times 7) $$
식을 정리합니다.
$$ 282 = 2(21 + 3x + 7x) $$
$$ 282 = 2(21 + 10x) $$
Step 3: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \(282 = 2(21 + 10x)\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
양변을 2로 나눕니다.
$$ \frac{282}{2} = 21 + 10x $$
$$ 141 = 21 + 10x $$
상수항 21을 좌변으로 이항합니다.
$$ 141 – 21 = 10x $$
$$ 120 = 10x $$
양변을 10으로 나눕니다.
$$ x = \frac{120}{10} = 12 $$
\(x=12\)는 높이이므로 양수 조건(\(x>0\))을 만족합니다.
Step 4: 답 확인
미지수 \(x\)는 직육면체의 높이를 의미합니다.
따라서 직육면체의 높이는 12 cm입니다.
검산: 가로 7, 세로 3, 높이 12일 때 겉넓이 = \(2(7\times3 + 3\times12 + 12\times7) = 2(21 + 36 + 84) = 2(141) = 282\). 문제에서 주어진 겉넓이와 일네, 직육면체의 겉넓이 공식을 이용하는 일차방정식 문제군요. 가독성을 높여 아주 상세한 단계별 풀이와 개념 정리를 포함한 HTML 코드를 작성해 드리겠습니다. “`html