📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 현재 예금액과 매달 추가 예금액이 다른 두 사람(아름, 민주)의 예금액 사이에 특정 배수 관계(“아름이 예금액의 3배 = 민주 예금액의 4배”)가 성립하는 시점(몇 개월 후)을 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “몇 개월 후”를 미지수 \(x\)개월 후로 설정합니다. (\(x\)는 0 또는 양수)
- \(x\)개월 후의 각자 예금액 표현:
- \(x\)개월 동안 아름이가 추가로 예금하는 금액을 계산합니다.
- \(x\)개월 후 아름이의 총 예금액을 (현재 예금액) + (추가 예금액)으로 나타냅니다.
- \(x\)개월 동안 민주가 추가로 예금하는 금액을 계산합니다.
- \(x\)개월 후 민주의 총 예금액을 (현재 예금액) + (추가 예금액)으로 나타냅니다.
- 방정식 설정: \(x\)개월 후에 “아름이의 예금액의 3배와 민주의 예금액의 4배가 같아진다”는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 세웁니다. \(3 \times (\text{x개월 후 아름이 예금액}) = 4 \times (\text{x개월 후 민주 예금액})\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 확인: 구한 \(x\) 값이 문제에서 요구하는 “몇 개월 후”가 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 현재 정보 및 미지수 설정
현재 아름이 예금액: 10000원
현재 민주 예금액: 3000원
두 사람 모두 매달 예금액: 1200원
조건이 성립하는 시점을 지금으로부터 \(x\)개월 후라고 설정합니다. (\(x \ge 0\))
Step 2: \(x\)개월 후의 각자 예금액 표현
\(x\)개월 동안 각자가 추가로 예금하는 금액:
$$ 1200 \times x = 1200x \text{ (원)} $$
\(x\)개월 후 아름이의 총 예금액:
$$ (\text{현재 아름 예금액}) + (\text{추가 예금액}) = 10000 + 1200x \text{ (원)} $$
\(x\)개월 후 민주의 총 예금액:
$$ (\text{현재 민주 예금액}) + (\text{추가 예금액}) = 3000 + 1200x \text{ (원)} $$
Step 3: 방정식 설정
\(x\)개월 후에 “아름이의 예금액의 3배와 민주의 예금액의 4배가 같아진다”는 조건을 식으로 나타냅니다.
$$ 3 \times (\text{x개월 후 아름이 예금액}) = 4 \times (\text{x개월 후 민주 예금액}) $$
Step 2에서 구한 식을 대입합니다.
$$ 3(10000 + 1200x) = 4(3000 + 1200x) $$
Step 4: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \(3(10000 + 1200x) = 4(3000 + 1200x)\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
양변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ 3 \times 10000 + 3 \times 1200x = 4 \times 3000 + 4 \times 1200x $$
$$ 30000 + 3600x = 12000 + 4800x $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 우변으로, 상수항을 좌변으로 이항합니다.
$$ 30000 – 12000 = 4800x – 3600x $$
동류항을 계산합니다.
$$ 18000 = 1200x $$
양변을 1200으로 나눕니다.
$$ x = \frac{18000}{1200} = \frac{180}{12} $$
계산합니다. (\(180 \div 12 = 15\))
$$ x = 15 $$
\(x=15\)는 \(x \ge 0\) 조건을 만족합니다.
Step 5: 답 확인
미지수 \(x\)는 조건이 만족되는 시점까지 걸리는 개월 수를 의미합니다.
따라서 조건이 같아지는 것은 15개월 후입니다.
검산: 15개월 후 아름이 예금액 = \(10000 + 1200 \times 15 = 10000 + 18000 = 28000\)원.
15개월 후 민주 예금액 = \(3000 + 1200 \times 15 = 3000 + 18000 = 21000\)원.
아름이 예금액의 3배 = \(3 \times 28000 = 84000\)원.
민주 예금액의 4배 = \(4 \times 21000 = 84000\)원.
두 값이 84000원으로 같으므로, 구한 답은 올바릅니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 유사하게 시간 경과에 따른 양의 변화를 추적하여 두 양 사이에 특정 관계가 성립하는 시점을 찾는 일차방정식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 변화 후의 양 표현: (나중 양) = (처음 양) + (단위 시간당 변화량) × (시간) 공식을 이용하여 각 대상의 양을 시간(미지수 \(x\))에 대한 식으로 나타냅니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 값(“몇 개월 후”)을 미지수로 설정합니다.
- 방정식 설정: 문제의 조건(“A의 ~배와 B의 ~배가 같아진다”)을 이용하여 두 대상의 양을 나타내는 식 사이에 등식을 세웁니다.
- 일차방정식 풀이: 괄호 풀기, 이항, 동류항 계산, 양변 나누기 등의 기본적인 방정식 풀이 과정을 통해 미지수의 값을 구합니다.
현재 상태와 변화율이 주어졌을 때 미래의 특정 조건을 만족하는 시점을 찾는 문제는 일차방정식으로 모델링하여 해결하는 대표적인 유형입니다.
✅ 최종 정답
② 15개월