📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원래 하려던 계산(\(3x+4\))과 잘못 수행한 계산(\(4x+3\))의 결과 사이에 특정 관계(“잘못 계산한 결과가 원래 구하려던 수보다 7만큼 작아졌다”)가 주어졌을 때, 원래의 수(\(x\))와 원래 구하려던 수(\(y\))를 찾아 그 합(\(x+y\))을 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 미지수 정의 확인: 문제에서 “어떤 수”를 \(x\), “구하려 했던 수”를 \(y\)로 정의했습니다.
- “구하려 했던 수”(\(y\)) 식으로 표현: “어떤 수를 3배하고 4를 더해야 할 것”이라는 설명에 따라, \(y\)를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다. \(y = 3x + 4\)
- “잘못 계산한 수” 식으로 표현: “잘못해서 4배하고 3을 더했더니”라는 설명에 따라, 잘못 계산한 결과를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다. \(4x + 3\)
- 두 결과 사이의 관계를 방정식으로 설정: “잘못 계산한 결과가 구하려 했던 수보다 7만큼 작아졌다”는 조건을 이용하여 방정식을 세웁니다. \((\text{잘못 계산한 수}) = (\text{구하려 했던 수}) – 7\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식에 \(y = 3x+4\)를 대입하여 \(x\)에 대한 방정식으로 만들고, 이를 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- \(y\) 값 계산: 구한 \(x\) 값을 \(y = 3x + 4\) 식에 대입하여 \(y\)의 값을 구합니다.
- \(x+y\) 계산: 구한 \(x\)와 \(y\)의 값을 더하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 정의 및 관계식 설정
문제에서 주어진 정의에 따라,
- 어떤 수: \(x\)
- 구하려 했던 수 (원래 계산 결과): \(y\)
원래 계산은 “어떤 수(\(x\))를 3배하고 4를 더하는 것”이므로,
$$ y = 3x + 4 \quad \cdots (1) $$
잘못 수행한 계산은 “어떤 수(\(x\))를 4배하고 3을 더하는 것”이므로, 잘못 계산한 수는 다음과 같습니다.
$$ \text{잘못 계산한 수} = 4x + 3 $$
Step 2: 잘못된 결과와 원래 결과 사이의 관계를 방정식으로 설정
문제에서 “잘못 계산한 수(\(4x+3\))가 구하려 했던 수(\(y\))보다 7만큼 작아졌다”고 했습니다. 이를 식으로 나타내면,
$$ (\text{잘못 계산한 수}) = (\text{구하려 했던 수}) – 7 $$
$$ 4x + 3 = y – 7 \quad \cdots (2) $$
Step 3: 방정식 풀이 (\(x\) 값 구하기)
방정식 (2)에 식 (1)의 \(y = 3x + 4\)를 대입하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 만듭니다.
$$ 4x + 3 = (3x + 4) – 7 $$
괄호를 풀고 우변을 정리합니다.
$$ 4x + 3 = 3x – 3 $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ 4x – 3x = -3 – 3 $$
동류항을 계산합니다.
$$ x = -6 $$
따라서 “어떤 수” \(x\)는 -6입니다.
(해설 이미지의 방식: \(y-7 = 4x+3\)에 \(y=3x+4\)를 대입하여 \((3x+4)-7 = 4x+3\) 으로 방정식을 세웠습니다. 결과는 동일합니다.)
Step 4: \(y\) 값 계산
“구하려 했던 수” \(y\)는 \(y = 3x + 4\) 입니다. Step 3에서 구한 \(x = -6\)을 대입합니다.
$$ y = 3(-6) + 4 $$
$$ y = -18 + 4 = -14 $$
따라서 “구하려 했던 수” \(y\)는 -14입니다.
Step 5: \(x + y\) 값 계산
문제에서 최종적으로 요구하는 값은 \(x + y\)입니다.
$$ x + y = (-6) + (-14) $$
$$ x + y = -20 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 문장으로 주어진 조건을 해석하여 두 개의 식(원래 계산, 잘못된 계산)을 세우고, 두 식 사이의 관계를 이용하여 일차방정식을 풀어 미지수를 찾는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정 및 식 표현: 문제에서 사용된 용어(“어떤 수”, “구하려 했던 수”, “잘못 계산한 수”)를 명확히 이해하고 각각을 미지수 또는 미지수를 포함한 식으로 정확하게 표현해야 합니다.
- 관계 파악 및 방정식 설정: 두 결과 사이의 관계(“~보다 ~만큼 작다”)를 등식(=)으로 올바르게 나타내어 방정식을 세웁니다. \(A\)가 \(B\)보다 \(k\)만큼 작다는 것은 \(A = B – k\)와 같습니다.
- 일차방정식 풀이: 미지수가 하나인 일차방정식을 풀 때는 미지수 항과 상수항을 분리하여 이항하고, 동류항을 계산한 후 양변을 미지수의 계수로 나누어 해를 구합니다.
- 문제의 요구사항 확인: 방정식의 해(\(x\))가 최종 답이 아니라, 문제에서 요구하는 다른 값(\(y\), \(x+y\) 등)을 구해야 하는 경우가 있으므로 마지막까지 문제의 질문을 정확히 확인해야 합니다.
“잘못 계산한” 유형의 문제는 원래 의도했던 계산과 실제 수행한 계산을 각각 식으로 표현하고, 두 결과 사이의 관계를 통해 방정식을 세우는 것이 일반적인 해결 방법입니다.
✅ 최종 정답
① \(-20\)