📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 연속하는 세 홀수의 합이 105일 때, 그 세 홀수를 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 연속하는 세 홀수 중 하나를 미지수 \(x\)로 설정합니다. 세 홀수를 \(x\)를 이용하여 표현하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
- 가운데 홀수를 \(x\)로 설정: 세 홀수는 \(x-2, x, x+2\)
- 가장 작은 홀수를 \(x\)로 설정: 세 홀수는 \(x, x+2, x+4\)
- 가장 큰 홀수를 \(x\)로 설정: 세 홀수는 \(x-4, x-2, x\)
- 방정식 설정: 세 홀수의 합이 105라는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 세 홀수 구하기: 구한 \(x\) 값을 이용하여 연속하는 세 홀수를 모두 찾습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
연속하는 세 홀수 중에서 가운데 홀수를 \(x\)라고 설정합니다.
홀수는 2씩 차이가 나므로, 연속하는 세 홀수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$ x-2, \quad x, \quad x+2 $$
(단, \(x\)는 홀수입니다.)
Step 2: 방정식 설정
세 홀수의 합이 105라고 했으므로, 다음 방정식을 세울 수 있습니다.
$$ (x-2) + x + (x+2) = 105 $$
Step 3: 방정식 풀이
세워진 방정식을 \(x\)에 대해 풉니다.
좌변의 괄호를 풀고 동류항을 계산합니다.
$$ (x + x + x) + (-2 + 2) = 105 $$
$$ 3x + 0 = 105 $$
$$ 3x = 105 $$
양변을 3으로 나눕니다.
$$ x = \frac{105}{3} = 35 $$
가운데 홀수 \(x\)는 35입니다. 35는 홀수이므로 조건에 맞습니다.
Step 4: 세 홀수 구하기
Step 1에서 설정한 대로, 세 홀수는 \(x-2, x, x+2\)입니다.
Step 3에서 구한 \(x=35\)를 대입하여 세 홀수를 찾습니다.
- 가장 작은 홀수: \(x – 2 = 35 – 2 = 33\)
- 가운데 홀수: \(x = 35\)
- 가장 큰 홀수: \(x + 2 = 35 + 2 = 37\)
따라서 연속하는 세 홀수는 33, 35, 37입니다.
검산: \(33 + 35 + 37 = 105\). 문제의 조건과 일치합니다.
Step 5: 다른 미지수 설정 방법 (참고)
만약 가장 작은 홀수를 \(x\)로 설정했다면, 세 홀수는 \(x, x+2, x+4\)입니다.
방정식: \(x + (x+2) + (x+4) = 105\)
\(3x + 6 = 105 \Rightarrow 3x = 99 \Rightarrow x = 33\)
세 홀수는 \(33, 33+2=35, 33+4=37\)로 결과는 동일합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 연속하는 수(홀수, 짝수, 자연수 등)를 미지수를 이용하여 표현하고, 주어진 조건을 일차방정식으로 나타내어 해결하는 기본적인 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 연속하는 수 표현:
- 연속하는 세 정수: \(x-1, x, x+1\) 또는 \(x, x+1, x+2\)
- 연속하는 세 홀수/짝수: \(x-2, x, x+2\) 또는 \(x, x+2, x+4\) (단, \(x\)를 홀수 또는 짝수로 가정)
- 미지수를 어떻게 설정하느냐에 따라 계산의 편의성이 달라질 수 있습니다. 합을 이용하는 경우, 가운데 수를 \(x\)로 놓으면 상수항이 상쇄되어 편리한 경우가 많습니다.
- 문제를 방정식으로 변환: 문제의 내용을 정확히 이해하고, 미지수를 사용하여 등식을 세웁니다. “~의 합은 ~이다”는 덧셈과 등호를 사용하여 표현합니다.
- 일차방정식 풀이: 이항, 동류항 계산, 양변 나누기 등의 과정을 통해 미지수의 값을 정확히 구합니다.
- 문제의 답 확인: 방정식의 해가 문제에서 요구하는 답인지, 아니면 해를 이용하여 다른 값을 구해야 하는지 확인합니다. 이 문제에서는 미지수 \(x\) 자체가 답이 아니라, \(x-2, x, x+2\) 세 수를 모두 구해야 합니다.
연속하는 수에 대한 문제는 중학교 과정에서 자주 등장하는 일차방정식 활용 유형입니다.
✅ 최종 정답
33, 35, 37