📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 십의 자리 숫자가 주어진 두 자리 자연수에서, 자릿수를 바꾼 수와 처음 수 사이의 관계를 이용하여 처음 수를 구하는 일차방정식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 모르는 정보인 처음 수의 일의 자리 숫자를 미지수 \(x\)로 설정합니다. (단, \(x\)는 0부터 9까지의 정수)
- 처음 수 표현: 십의 자리 숫자(6)와 일의 자리 숫자(\(x\))를 이용하여 처음 두 자리 자연수를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다. (십의 자리 숫자에는 10을 곱하고 일의 자리 숫자를 더합니다.)
- 자리를 바꾼 수 표현: 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 설정: 문제에서 주어진 조건 “자리를 바꾼 수는 처음 수보다 18만큼 작다”를 이용하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 세웁니다. \((\text{바꾼 수}) = (\text{처음 수}) – 18\)
- 방정식 풀이: 세워진 일차방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 처음 수 구하기: 구한 \(x\) 값을 이용하여 처음 두 자리 자연수를 결정합니다.
두 자리 자연수 표현:
십의 자리 숫자가 \(a\), 일의 자리 숫자가 \(b\)일 때, 두 자리 자연수는 \(10a + b\)로 표현됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
처음 두 자리 자연수의 십의 자리 숫자는 6입니다.
일의 자리 숫자를 미지수 \(x\)라고 설정합니다. \(x\)는 0, 1, 2, …, 9 중 하나의 정수입니다.
Step 2: 처음 수 식으로 표현하기
십의 자리 숫자가 6이고 일의 자리 숫자가 \(x\)이므로, 처음 자연수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ \text{처음 수} = 10 \times (\text{십의 자리 숫자}) + (\text{일의 자리 숫자}) = 10 \times 6 + x = 60 + x $$
Step 3: 자리를 바꾼 수 식으로 표현하기
십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾸면, 십의 자리 숫자는 \(x\)가 되고 일의 자리 숫자는 6이 됩니다.
따라서 자리를 바꾼 수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ \text{바꾼 수} = 10 \times x + 6 = 10x + 6 $$
Step 4: 방정식 설정
문제에서 “자리를 바꾼 수는 처음 수보다 18만큼 작다”고 했습니다. 이를 식으로 나타냅니다.
$$ (\text{바꾼 수}) = (\text{처음 수}) – 18 $$
Step 2와 Step 3에서 구한 식을 대입합니다.
$$ 10x + 6 = (60 + x) – 18 $$
Step 5: 방정식 풀이
세워진 일차방정식 \(10x + 6 = (60 + x) – 18\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
먼저 우변을 간단히 합니다.
$$ 10x + 6 = 60 + x – 18 $$
$$ 10x + 6 = x + 42 $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ 10x – x = 42 – 6 $$
동류항을 계산합니다.
$$ 9x = 36 $$
양변을 9로 나눕니다.
$$ x = \frac{36}{9} = 4 $$
일의 자리 숫자 \(x\)는 4입니다. 이는 0부터 9까지의 정수라는 조건을 만족합니다.
Step 6: 처음 수 구하기
문제에서 구하고자 하는 것은 “처음 수”입니다. Step 2에서 처음 수는 \(60 + x\)로 표현되었습니다.
Step 5에서 구한 \(x = 4\)를 대입합니다.
$$ \text{처음 수} = 60 + 4 = 64 $$
검산: 처음 수 64. 자리를 바꾼 수 46. 두 수의 차는 \(64 – 46 = 18\). 자리를 바꾼 수가 처음 수보다 18만큼 작다는 조건과 일치합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 자릿값을 이용한 자연수의 표현과 일차방정식을 결합한 기본적인 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 자연수의 자릿값 표현: 두 자리 자연수에서 십의 자리 숫자를 \(a\), 일의 자리 숫자를 \(b\)라고 할 때, 그 수는 \(10a + b\)로 표현됩니다. 단순히 \(ab\)로 쓰면 곱셈을 의미하므로 주의해야 합니다. 세 자리 수의 경우 백의 자리 \(a\), 십의 자리 \(b\), 일의 자리 \(c\)일 때 \(100a + 10b + c\)로 표현합니다.
- 문제를 방정식으로 변환: 문제에서 주어진 상황(“자리를 바꾼 수”, “처음 수”, “~보다 ~만큼 작다”)을 미지수를 사용한 대수식과 등호로 정확하게 표현하는 것이 중요합니다.
- 일차방정식 풀이: 기본적인 이항, 동류항 계산, 양변 나누기 등의 과정을 통해 미지수의 값을 구합니다.
- 미지수의 조건 확인: 자릿수로 설정된 미지수는 0부터 9까지의 정수라는 조건을 만족해야 합니다. 구해진 해가 이 조건을 만족하는지 확인하는 습관이 필요합니다.
자릿값 관련 문제는 자연수를 각 자릿수의 값과 자릿값(1, 10, 100…)의 곱의 합으로 표현하는 방법을 정확히 이해하는 것이 기본입니다.
✅ 최종 정답
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