📌 문제 이해하기
150을 자연수 \( a \)로 나누었을 때, 어떤 자연수 \( b \)의 제곱수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \( a \)와 이때의 \( b \) 값의 합을 구하는 문제입니다.
즉, 주어진 조건을 만족하는 최소의 \( a \)와 \( b \)를 찾아서 그 합을 구하는 것이 목표입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 150의 소인수 분해
150을 소인수 분해하면:
\[ 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \]여기서 \( b^2 \)가 완전제곱수가 되려면, 남아 있는 소인수들의 지수가 모두 짝수여야 합니다.
[Step 2] \( a \)의 최소값 구하기
150을 자연수 \( a \)로 나눴을 때, 결과가 제곱수가 되도록 하기 위해서는, \( a \)를 선택하여 남은 인수들의 지수를 짝수로 맞춰야 합니다.
150의 소인수 분해에서:
\[ 2^1, \quad 3^1, \quad 5^2 \]- \( 2^1 \): 지수를 짝수로 만들기 위해 \( 2 \)를 포함해야 함.
- \( 3^1 \): 지수를 짝수로 만들기 위해 \( 3 \)을 포함해야 함.
- \( 5^2 \): 이미 짝수이므로 추가할 필요 없음.
따라서, \( a \)는:
\[ a = 2 \times 3 = 6 \][Step 3] \( b \)의 값 구하기
주어진 조건에 따라,
\[ b^2 = \frac{150}{a} = \frac{150}{6} = 25 \]즉,
\[ b^2 = 5^2 \]이므로,
\[ b = 5 \][Step 4] \( a + b \)의 값 구하기
\[ a + b = 6 + 5 = 11 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{11} \]📝 마무리 정리
- 150을 소인수 분해하면 \( 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \)이 됩니다.
- 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- \( a = 2 \times 3 = 6 \)을 선택하면 남은 인수들이 완전제곱수가 됩니다.
- 나누어진 결과인 \( b^2 = 25 \)에서 \( b = 5 \)를 구할 수 있습니다.
- 따라서, \( a + b = 11 \)이 됩니다.