📌 문제 이해하기
주어진 식을 간단히 정리하는 문제입니다.
\[ 3^{4n} \times \frac{1}{729^{n-1}} \times \frac{1}{3^2} \times 9^n \]이 표현을 간단한 형태로 변환하는 것이 목표입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 729와 9를 소인수 분해하기
우선, 729와 9를 소인수 분해해 보겠습니다.
\[ 729 = 3^6, \quad 9 = 3^2 \]따라서,
\[ 729^{n-1} = (3^6)^{n-1} = 3^{6(n-1)} \] \[ 9^n = (3^2)^n = 3^{2n} \][Step 2] 주어진 식을 정리하기
주어진 식을 다시 쓰면:
\[ 3^{4n} \times \frac{1}{3^{6(n-1)}} \times \frac{1}{3^2} \times 3^{2n} \]분수를 정리하여 지수를 분리하면:
\[ 3^{4n} \times 3^{-6(n-1)} \times 3^{-2} \times 3^{2n} \][Step 3] 지수 법칙 적용
지수들을 모두 더하면:
\[ 4n + (-6(n-1)) + (-2) + 2n \]이를 전개하면:
\[ 4n – 6n + 6 – 2 + 2n \] \[ (4n – 6n + 2n) + (6 – 2) = 0 + 4 = 4 \]따라서:
\[ 3^4 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{3^4} \]📝 마무리 정리
- 729와 9를 소인수 분해하여 \( 729 = 3^6 \), \( 9 = 3^2 \)을 활용하였습니다.
- 주어진 식을 모두 지수의 곱셈 형태로 변환한 후, 지수 법칙을 이용해 정리하였습니다.
- 최종적으로 \( 3^4 \)이 됨을 확인했습니다.
따라서, 정답은 \( 3^4 \)입니다.