📌 문제 이해하기
주어진 소수 \( \dot{1}\dot{6}\dot{2} \)와 \( \dot{0}\dot{3} \)을 이용하여 다음을 구하는 문제입니다.
- \( a + b \)의 값을 순환소수로 나타내기
- 구한 순환소수에서 소수점 아래 2021번째 자리의 숫자를 찾기
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( a \) 값 구하기
주어진 식:
\[ \dot{1}\dot{6}\dot{2} = 16.1 \times a \]1. \( \dot{1}\dot{6}\dot{2} \)을 분수로 변환
\[ x = 0.\dot{1}\dot{6}\dot{2} \]1000을 곱하여 소수점을 이동시킵니다.
\[ 1000x = 162.\dot{1}\dot{6}\dot{2} \]이제 원래 식에서 빼줍니다.
\[ 1000x – x = 162.\dot{1}\dot{6}\dot{2} – 0.\dot{1}\dot{6}\dot{2} \] \[ 999x = 162 \] \[ x = \frac{162}{999} = \frac{6}{37} \]따라서,
\[ \dot{1}\dot{6}\dot{2} = \frac{161}{990} \]주어진 식 \( \dot{1}\dot{6}\dot{2} = 16.1 \times a \)에서,
\[ \frac{161}{990} = \frac{161}{10} \times a \]양변에 \( \frac{10}{161} \)을 곱하면,
\[ a = \frac{161}{990} \times \frac{10}{161} = \frac{10}{990} = \frac{1}{99} \][Step 2] \( b \) 값 구하기
주어진 식:
\[ b = 10 \times \dot{0}\dot{3} \]1. \( \dot{0}\dot{3} \)을 분수로 변환
\[ y = 0.\dot{0}\dot{3} \]100을 곱하여 소수점을 이동시킵니다.
\[ 100y = 3.\dot{0}\dot{3} \]양변에서 빼면,
\[ 100y – y = 3.\dot{0}\dot{3} – 0.\dot{0}\dot{3} \] \[ 99y = 3 \] \[ y = \frac{3}{99} = \frac{1}{33} \]따라서,
\[ b = 10 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{3} \][Step 3] \( a + b \) 계산
\[ a + b = \frac{1}{99} + \frac{1}{3} \]공통분모 99로 맞추기:
\[ \frac{1}{3} = \frac{33}{99} \] \[ a + b = \frac{1}{99} + \frac{33}{99} = \frac{34}{99} \]이를 순환소수로 변환하면,
\[ a + b = \dot{0}\dot{3}\dot{4} \][Step 4] 소수점 아래 2021번째 숫자 찾기
순환소수 \( \dot{0}\dot{3}\dot{4} \)은 순환마디가 2개(34)입니다.
즉, 소수점 이하 숫자가 “3, 4, 3, 4, 3, 4, …”와 같이 계속 반복됩니다.
이제 2021번째 자리가 “3”인지 “4”인지 확인하기 위해, **2021을 2로 나누었을 때 나머지를 계산**합니다.
\[ 2021 \div 2 = 1010 \text{(몫)}, 1 \text{(나머지)} \]즉, 2021번째 자리는 **처음 시작하는 “3, 4” 중 첫 번째 숫자와 같습니다.**
따라서, 2021번째 자리의 숫자는 3입니다.
🎯 최종 정답
- \( a + b = \dot{0}\dot{3}\dot{4} \)
- 2021번째 숫자 = 3
📝 마무리 정리
- \( \dot{1}\dot{6}\dot{2} \)을 분수로 변환하여 \( a = \frac{1}{99} \)을 구함.
- \( \dot{0}\dot{3} \)을 분수로 변환하여 \( b = \frac{1}{3} \)을 구함.
- \( a + b = \frac{34}{99} = \dot{0}\dot{3}\dot{4} \)을 도출.
- 2021번째 자리는 “3, 4″가 번갈아 반복됨을 이용하여 2021번째 자리 숫자는 3임을 확인.