문제
인영이네 반의 여학생 15명의 평균 몸무게는 50kg, 남학생의 평균 몸무게는 65kg이다. 인영이네 반 학생 전체의 평균 몸무게가 60kg 이하일 때, 남학생은 최대 몇 명인가?
풀이
📘 문제 요약
- 여학생: 15명, 평균 50kg
- 남학생: 평균 65kg, 인원은 \( x \)명
- 전체 평균이 60kg 이하가 되도록 \( x \)의 최대값을 구하라
✅ 단계별 풀이
Step 1. 전체 몸무게 표현
여학생들의 총 몸무게는 다음과 같습니다.
\( 50 \times 15 = 750 \)kg
남학생들의 총 몸무게는 평균이 65kg이고 인원이 \( x \)명이므로:
\( 65x \)kg
Step 2. 전체 인원과 평균 몸무게 표현
전체 학생 수는 \( 15 + x \)명입니다.
전체 몸무게는 \( 750 + 65x \)kg이 됩니다.
따라서 전체 평균 몸무게는 다음과 같습니다:
\[ \frac{750 + 65x}{15 + x} \]
Step 3. 평균이 60kg 이하가 되어야 함
조건에 따라 아래 부등식이 성립합니다:
\[ \frac{750 + 65x}{15 + x} \leq 60 \]
Step 4. 부등식 풀기
양변에 \( 15 + x \)를 곱해 정리합니다:
\[ 750 + 65x \leq 60(15 + x) \]
\[ 750 + 65x \leq 900 + 60x \]
양변에서 60x를 빼줍니다:
\[ 750 + 5x \leq 900 \]
\[ 5x \leq 150 \Rightarrow x \leq 30 \]
✅ 최종 정답
남학생은 최대 30명까지 가능하다.
🧠 마무리 개념 정리
- 평균의 조건이 주어질 때 전체합을 분수 형태로 만들고, 부등식을 세워 해결
- 전체 인원수를 변수로 둘 때, 인원에 따른 전체 평균을 표현하는 것이 핵심
- 실생활 예시로 ‘시험 평균 점수’, ‘몸무게 평균’ 등에서 많이 쓰임
- 문제 조건을 분수식으로 만들고 정리하는 연습이 중요