문제
어느 사진관에서 증명사진 8장을 인화하는 데 드는 가격은 5,000원이고,
8장을 초과하면 한 장당 200원씩 추가된다고 한다.
증명사진 한 장당 가격이 450원 이하가 되게 하려면
증명사진을 몇 장 이상 인화해야 하는지 구하여라.
풀이
📘 문제 요약
- 기본 8장까지는 5,000원
- 8장을 초과하면 초과분에 대해 장당 200원 추가
- 한 장당 평균 가격이 450원 이하가 되려면 몇 장 이상 인화해야 하는가?
✅ 단계별 풀이
증명사진을 x장 인화한다고 가정하자. 단, x > 8이어야 추가 요금이 발생하므로 이 문제는 x ≥ 9인 경우만 고려한다.
총 비용은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\( \text{총 비용} = 5,000 + 200(x – 8) \)
장당 평균 가격은 다음과 같다.
\( \text{평균 가격} = \dfrac{5,000 + 200(x – 8)}{x} \)
이 평균 가격이 450원 이하가 되어야 하므로 부등식을 세운다.
\[ \dfrac{5,000 + 200(x – 8)}{x} \leq 450 \]
식을 정리하자.
\[ \dfrac{5,000 + 200x – 1,600}{x} = \dfrac{200x + 3,400}{x} \leq 450 \]
양변에 \(x\)를 곱한다. (단, \(x > 0\)이므로 부등호 방향 유지)
\[ 200x + 3,400 \leq 450x \]
이제 정리하면,
\[ 3,400 \leq 250x \Rightarrow x \geq \dfrac{3,400}{250} = 13.6 \]
따라서 최소한 14장 이상 인화해야 조건을 만족한다.
✅ 최종 정답
정답: 14장
🧠 마무리 개념 정리
- 단가 제한 문제에서는 평균 가격(총 가격 ÷ 수량)을 기준으로 식을 세운다.
- 기본 요금 + 추가 요금 구조에서는 기준점을 중심으로 초과분을 잘 구분해서 수식을 세워야 한다.
- 부등식을 활용해 특정 조건(평균 가격 제한 등)을 만족하는 최소/최대 값을 구할 수 있다.