원가, 정가, 할인율 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원가에 일정 비율의 이익을 붙여 정가를 정하고, 다시 그 정가에서 특정 비율로 할인하여 판매할 때, 손해를 보지 않기 위한 최대 할인율을 구하는 문제입니다.
- 원가 설정: 바지의 원가를 미지수 (예: \(A\))로 설정합니다.
- 정가 계산: 원가에 35%의 이익을 붙여 정가를 \(A\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 할인가 계산: 정가에서 \(x\%\)를 할인한 최종 판매 가격(할인가)을 \(A\)와 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: “손해를 보지 않는다”는 조건은 “최종 판매 가격이 원가보다 크거나 같다”는 의미이므로, 이를 부등식으로 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 부등식을 \(x\)에 대해 풀어서 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 정수 구하기: \(x\)의 범위 내에서 가장 큰 정수 값을 찾습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 원가 및 정가 설정
바지의 원가를 \(A\)원이라고 합시다. (단, \(A > 0\))
원가의 35% 이익을 붙여 정가를 정했으므로, 정가는 다음과 같습니다.
$$ \text{정가} = A + 0.35A = (1 + 0.35)A = 1.35A $$
Step 2: 할인가 계산
정가 \(1.35A\)에서 \(x\%\)를 할인하여 판매합니다. 할인 금액은 정가의 \(x\%\)이므로 \((1.35A) \times \frac{x}{100}\)입니다.
최종 판매 가격(할인가)은 정가에서 할인 금액을 뺀 값이므로,
$$ \text{할인가} = \text{정가} – (\text{할인 금액}) = 1.35A – (1.35A) \times \frac{x}{100} $$
공통 인수 \(1.35A\)로 묶으면,
$$ \text{할인가} = 1.35A \left(1 – \frac{x}{100}\right) $$
Step 3: 손해 보지 않을 조건으로 부등식 설정
손해를 보지 않으려면 최종 판매 가격(할인가)이 원가 \(A\)보다 크거나 같아야 합니다.
$$ 1.35A \left(1 – \frac{x}{100}\right) \ge A $$
Step 4: 부등식 풀기
원가 \(A\)는 0보다 크므로 (\(A > 0\)), 부등식의 양변을 \(A\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 1.35 \left(1 – \frac{x}{100}\right) \ge 1 $$
양변을 1.35로 나눕니다. \(1.35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}\)이므로, \(1 \div 1.35 = 1 \div \frac{27}{20} = \frac{20}{27}\)입니다.
$$ 1 – \frac{x}{100} \ge \frac{1}{1.35} = \frac{20}{27} $$
\(-\frac{x}{100}\)에 대해 정리합니다.
$$ -\frac{x}{100} \ge \frac{20}{27} – 1 $$
$$ -\frac{x}{100} \ge \frac{20}{27} – \frac{27}{27} = -\frac{7}{27} $$
양변에 -100을 곱합니다. 음수를 곱했으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x \le \left(-\frac{7}{27}\right) \times (-100) $$
$$ x \le \frac{700}{27} $$
Step 5: \(x\)의 최대 정수 값 구하기
\(x\)는 \(\frac{700}{27}\)보다 작거나 같아야 합니다. \(\frac{700}{27}\)의 값을 계산해 보면,
$$ \frac{700}{27} \approx 25.9259… $$
따라서 \(x \le 25.9259…\) 입니다. 이 조건을 만족하는 가장 큰 정수 \(x\)는 25입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원가, 정가, 할인가의 관계와 백분율 계산, 그리고 일차부등식의 풀이를 이용하는 전형적인 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원가와 이익: 정가는 원가에 이익을 더한 금액입니다. \(P\%\)의 이익을 붙인 정가는 (원가) \(\times (1 + \frac{P}{100})\)입니다.
- 정가와 할인: 할인가는 정가에서 할인 금액을 뺀 금액입니다. 정가에서 \(x\%\)를 할인한 가격은 (정가) \(\times (1 – \frac{x}{100})\)입니다.
- 손익 분기점: 손해를 보지 않는다는 것은 판매 가격이 원가와 같거나 더 높은 경우를 의미합니다. (판매 가격) \(\ge\) (원가)
- 일차부등식 풀이: 미지수를 포함하는 부등식을 풀 때는 이항, 양변에 같은 수를 더하거나 빼기, 양변에 양수를 곱하거나 나누기 등의 방법을 사용합니다. 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 바뀐다는 점에 주의해야 합니다.
문제의 조건을 정확하게 식으로 표현하고, 특히 “손해를 보지 않는다”는 조건을 올바른 부등식으로 설정하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
③ \(25\)