비용 비교 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 동일한 과자를 집 근처 가게에서 살 때와 대형 할인점에서 살 때의 비용을 비교하여, 몇 개 이상 사야 대형 할인점에서 사는 것이 더 유리한지(비용이 적게 드는지) 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 구매하려는 과자의 개수를 미지수 \(x\)개로 설정합니다.
- 각 경우의 비용 계산:
- 집 근처 가게에서 \(x\)개의 과자를 살 때의 총 비용을 계산합니다.
- 대형 할인점에서 \(x\)개의 과자를 살 때의 총 비용 (과자 가격 + 왕복 교통비)을 계산합니다.
- 부등식 설정: “대형 할인점에서 사는 것이 유리하다”는 것은 “대형 할인점에서의 총 비용이 집 근처 가게에서의 총 비용보다 작다”는 의미이므로, 이를 \(x\)에 대한 일차부등식으로 나타냅니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어서 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 개수 결정: 부등식의 해를 만족하는 가장 작은 자연수 \(x\) 값을 찾습니다. 이것이 대형 할인점에서 사는 것이 유리해지기 시작하는 최소 개수이며, 문제에서 “몇 개 이상”이라고 물었으므로 이 값이 답이 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
문제에서 구하고자 하는 것은 과자의 개수이므로, 구매하는 과자의 개수를 \(x\)개라고 설정합니다. 이때, 과자는 한 개, 두 개 등 자연수 단위로 구매하므로 \(x\)는 자연수입니다.
Step 2: 각 구매처에서의 총 비용 계산
2-1. 집 근처 가게에서의 비용:
집 근처 가게에서는 한 봉지에 1000원이므로, \(x\)개의 과자를 사면 총 비용은 다음과 같습니다.
$$ \text{집 근처 가게 비용} = 1000 \times x = 1000x \text{ (원)} $$
2-2. 대형 할인점에서의 비용:
대형 할인점에서는 한 봉지에 700원이지만, 왕복 교통비 1300원이 추가로 듭니다. 따라서 \(x\)개의 과자를 사면 총 비용은 과자 가격과 교통비의 합입니다.
$$ \text{대형 할인점 비용} = (\text{과자 가격}) + (\text{교통비}) = (700 \times x) + 1300 = 700x + 1300 \text{ (원)} $$
Step 3: 부등식 설정
문제에서 “대형 할인점에서 사는 것이 유리한 경우”를 묻고 있습니다. “유리하다”는 것은 비용이 더 적게 든다는 의미입니다. 따라서 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{대형 할인점 비용}) < (\text{집 근처 가게 비용}) $$
$$ 700x + 1300 < 1000x $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(700x + 1300 < 1000x\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
부등식의 양변에서 \(700x\)를 빼줍니다 (또는 \(700x\)를 우변으로 이항합니다).
$$ 1300 < 1000x - 700x $$
$$ 1300 < 300x $$
이제 양변을 300으로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 300은 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ \frac{1300}{300} < x $$
분수를 약분합니다.
$$ \frac{13}{3} < x $$
즉, \(x > \frac{13}{3}\) 입니다.
Step 5: 최소 개수 결정
부등식의 해는 \(x > \frac{13}{3}\) 입니다. \(\frac{13}{3}\)을 소수로 나타내면 약 4.333… 입니다.
$$ x > 4.333… $$
문제에서 \(x\)는 과자의 개수이므로 자연수여야 합니다. 따라서 \(4.333…\)보다 큰 가장 작은 자연수는 5입니다.
즉, 과자를 5개 이상 살 때부터 대형 할인점에서 사는 것이 집 근처 가게에서 사는 것보다 비용이 적게 들어 유리합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 일차부등식의 활용 능력을 평가하는 문제입니다. 실생활에서 접할 수 있는 비용 비교 상황을 수학적 모델(부등식)로 표현하고 해결하는 과정이 포함됩니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정: 구하고자 하는 값을 미지수(\(x\))로 설정합니다.
- 조건의 수학적 표현: 문제의 내용을 \(x\)를 사용한 식 또는 부등식으로 나타냅니다. 이 문제에서는 각 구매처에서의 총 비용을 식으로 표현하고, “유리하다”는 조건을 부등식으로 표현했습니다.
- 일차부등식 풀이: 등식의 성질과 유사하게 부등식의 성질(이항, 양변에 같은 수 더하거나 빼기, 양수 곱하거나 나누기)을 이용하여 해를 구합니다. 단, 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 반대로 바뀐다는 점에 유의해야 합니다.
- 해의 해석: 구한 부등식의 해가 문제의 조건(예: 자연수 개수)에 맞는지 확인하고, 문제에서 요구하는 답(최소값, 최대값, 범위 등)을 정확하게 해석하여 답합니다.
일상생활의 다양한 상황(비용 비교, 속력/거리/시간, 농도 등)을 부등식으로 모델링하여 최적의 선택을 하거나 조건을 만족하는 범위를 찾는 데 부등식이 유용하게 활용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
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