쇼핑몰 비용 비교 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 인터넷 쇼핑몰에서 레몬을 구매할 때 발생하는 총 비용(상품 가격 + 배송료)을 비교하여, 특정 쇼핑몰(X 쇼핑몰)을 이용하는 것이 더 유리해지는(비용이 적게 드는) 최소 구매 개수를 찾는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 구매하려는 레몬의 개수를 미지수 \(x\)개로 설정합니다. (\(x\)는 자연수)
- 각 쇼핑몰의 총 비용 계산:
- X 인터넷 쇼핑몰에서 \(x\)개의 레몬을 구매할 때의 총 비용 (레몬 \(x\)개 가격 + 배송료)을 계산합니다.
- Y 인터넷 쇼핑몰에서 \(x\)개의 레몬을 구매할 때의 총 비용 (레몬 \(x\)개 가격 + 배송료)을 계산합니다.
- 부등식 설정: “X 인터넷 쇼핑몰을 이용하는 것이 유리하다”는 것은 “X 쇼핑몰에서의 총 비용이 Y 쇼핑몰에서의 총 비용보다 작다”는 의미이므로, 이를 \(x\)에 대한 일차부등식으로 나타냅니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 개수 결정: 부등식의 해를 만족하는 가장 작은 자연수 \(x\) 값을 찾습니다. 이 값이 X 쇼핑몰을 이용하는 것이 유리해지기 시작하는 최소 개수이며, 문제에서 “몇 개 이상”이라고 물었으므로 이 값이 답이 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
구매하는 레몬의 개수를 \(x\)개라고 설정합니다. 레몬은 개 단위로 판매되므로 \(x\)는 자연수입니다.
Step 2: 각 쇼핑몰에서의 총 비용 계산
2-1. X 인터넷 쇼핑몰에서의 비용:
X 쇼핑몰에서는 레몬 1개 가격이 1000원이고 배송료가 5000원입니다. 따라서 \(x\)개의 레몬을 구매할 때 총 비용은 다음과 같습니다.
$$ \text{X 쇼핑몰 비용} = (\text{레몬 } x \text{개 가격}) + (\text{배송료}) = (1000 \times x) + 5000 = 1000x + 5000 \text{ (원)} $$
2-2. Y 인터넷 쇼핑몰에서의 비용:
Y 쇼핑몰에서는 레몬 1개 가격이 1500원이고 배송료가 3000원입니다. 따라서 \(x\)개의 레몬을 구매할 때 총 비용은 다음과 같습니다.
$$ \text{Y 쇼핑몰 비용} = (\text{레몬 } x \text{개 가격}) + (\text{배송료}) = (1500 \times x) + 3000 = 1500x + 3000 \text{ (원)} $$
Step 3: 부등식 설정
문제에서 “X 인터넷 쇼핑몰을 이용하는 것이 Y 인터넷 쇼핑몰보다 유리한 경우”를 묻고 있습니다. “유리하다”는 것은 비용이 더 적게 든다는 의미입니다. 따라서 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{X 쇼핑몰 비용}) < (\text{Y 쇼핑몰 비용}) $$
$$ 1000x + 5000 < 1500x + 3000 $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(1000x + 5000 < 1500x + 3000\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
미지수 \(x\)를 포함하는 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항합니다.
$$ 1000x – 1500x < 3000 - 5000 $$
동류항을 계산합니다.
$$ -500x < -2000 $$
이제 양변을 -500으로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 음수로 나누었으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x > \frac{-2000}{-500} $$
$$ x > 4 $$
Step 5: 최소 개수 결정
부등식의 해는 \(x > 4\) 입니다. 문제에서 \(x\)는 구매하는 레몬의 개수이므로 자연수여야 합니다.
따라서 4보다 큰 가장 작은 자연수는 5입니다.
즉, 레몬을 5개 이상 살 때부터 X 인터넷 쇼핑몰을 이용하는 것이 Y 인터넷 쇼핑몰보다 비용이 적게 들어 유리합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 유사하게 일차부등식의 활용 능력을 평가하는 문제입니다. 두 가지 선택지(쇼핑몰)의 비용 구조를 비교하여 어느 한쪽이 더 경제적인지 판단하는 상황을 다룹니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 총 비용 계산: 상품 구매 시 발생하는 총 비용은 (단가 × 개수) + (고정 비용, 예: 배송료) 형태로 계산되는 경우가 많습니다.
- “유리하다”의 의미 파악: 문제에서 “유리하다”, “더 싸다”, “비용이 적게 든다” 등의 표현은 부등식에서 ‘<' (작다) 기호를 사용하여 비교하는 것으로 해석합니다.
- 일차부등식 설정 및 풀이: 비교하고자 하는 두 가지 경우의 비용을 각각 식으로 나타내고, 문제의 조건에 맞게 부등식을 설정한 후, 부등식의 성질을 이용하여 해를 구합니다.
- 자연수 해 찾기: 문제의 맥락상 해가 자연수여야 하는 경우(예: 물건의 개수, 사람 수), 부등식의 해 범위 내에서 조건을 만족하는 가장 작은 (또는 가장 큰) 자연수를 찾아야 합니다.
이러한 유형의 문제는 쇼핑, 요금제 비교 등 실생활에서 자주 접할 수 있는 상황을 수학적으로 해결하는 좋은 예시입니다.
✅ 최종 정답
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