할인 혜택 비교 일차부등식 문제 풀이
민지는 생일을 맞아 친구들과 패밀리 레스토랑에 가려고 한다. 패밀리 레스토랑의 1인당 이용 요금은 15000원이고, 다음과 같은 할인 혜택이 있다고 한다. 몇 명 이상부터 통신사 제휴 카드로 할인받는 것이 유리한가? (단, 하나의 할인 혜택만 받을 수 있다.)
| 할인 | 통신사 제휴 카드 | 생일 이벤트 |
|---|---|---|
| 혜택 | 전체 이용 요금의 30% 할인 | 생일자 포함 동반 3인까지 60% 할인 |
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 패밀리 레스토랑 이용 시 두 가지 할인 방법 중 어느 것이 더 유리한지(총비용이 더 적은지)를 판단하는 일차부등식 활용 문제입니다. 통신사 제휴 카드 할인이 생일 이벤트 할인보다 더 유리해지는 최소 인원수를 찾는 것이 목표입니다.
- 미지수 설정: 레스토랑에 가는 총인원수를 미지수 \(x\)명으로 설정합니다. (단, \(x\)는 자연수)
- 각 할인 방법별 총비용 계산:
- 통신사 제휴 카드 할인: \(x\)명 전체의 이용 요금에서 30%를 할인받을 때의 총비용을 계산합니다.
- 생일 이벤트 할인: 3명은 60% 할인을 받고, 나머지 \((x-3)\)명은 정가를 낼 때의 총비용을 계산합니다. (이 계산은 \(x \ge 3\)일 때 유효하며, 문제 상황상 최소 3명 이상일 때 비교가 의미 있으므로 이 가정을 사용합니다.)
- 부등식 설정: “통신사 제휴 카드로 할인받는 것이 유리하다”는 것은 “통신사 할인 적용 총비용이 생일 이벤트 할인 적용 총비용보다 작다”는 의미이므로, 이를 \(x\)에 대한 일차부등식으로 나타냅니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 인원 결정: 부등식의 해를 만족하는 가장 작은 자연수 \(x\) 값을 찾습니다. 이 값이 통신사 할인이 더 유리해지기 시작하는 최소 인원수이며, 문제에서 “몇 명 이상”이라고 물었으므로 이 값이 답이 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
패밀리 레스토랑에 가는 총인원수를 \(x\)명이라고 설정합니다. 인원수이므로 \(x\)는 자연수입니다.
Step 2: 통신사 제휴 카드 할인 시 총비용 계산
1인당 이용 요금이 15000원이므로, \(x\)명의 원래 총 요금은 \(15000 \times x\)원입니다.
통신사 제휴 카드는 전체 요금의 30%를 할인해 줍니다. 즉, 지불해야 하는 금액은 원래 요금의 \(100\% – 30\% = 70\%\)입니다.
$$ \text{통신사 할인 비용} = (15000x) \times (1 – 0.30) = (15000x) \times 0.7 = 10500x \text{ (원)} $$
Step 3: 생일 이벤트 할인 시 총비용 계산
생일 이벤트는 최대 3명까지 60% 할인을 적용합니다. 즉, 이 3명은 원래 요금의 \(100\% – 60\% = 40\%\)만 지불합니다.
나머지 \(x – 3\)명은 할인을 받지 못하고 1인당 15000원씩 정가를 지불합니다. (단, 이 계산은 \(x \ge 3\)일 때 성립합니다.)
할인받는 3명의 비용:
$$ 3 \times (15000 \times (1 – 0.60)) = 3 \times (15000 \times 0.4) = 3 \times 6000 = 18000 \text{ (원)} $$
정가로 내는 \(x-3\)명의 비용:
$$ (x – 3) \times 15000 = 15000x – 45000 \text{ (원)} $$
따라서 생일 이벤트 할인 시 총비용은 두 비용의 합입니다.
$$ \text{생일 할인 비용} = 18000 + (15000x – 45000) = 15000x – 27000 \text{ (원)} $$
Step 4: 부등식 설정
“통신사 제휴 카드로 할인받는 것이 유리하다”는 것은 통신사 할인 비용이 생일 할인 비용보다 작다는 의미입니다.
$$ (\text{통신사 할인 비용}) < (\text{생일 할인 비용}) $$
$$ 10500x < 15000x - 27000 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(10500x < 15000x - 27000\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ 10500x – 15000x < -27000 $$
동류항을 계산합니다.
$$ -4500x < -27000 $$
양변을 -4500으로 나눕니다. 음수로 나누었으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x > \frac{-27000}{-4500} $$
분수를 간단히 합니다.
$$ x > \frac{2700}{450} = \frac{270}{45} = 6 $$
따라서 \(x > 6\) 입니다.
Step 6: 최소 인원 결정
부등식의 해는 \(x > 6\) 입니다. 문제에서 \(x\)는 레스토랑에 가는 인원수이므로 자연수여야 합니다.
따라서 6보다 큰 가장 작은 자연수는 7입니다.
즉, 총 7명 이상부터 통신사 제휴 카드로 할인받는 것이 생일 이벤트 할인보다 더 유리합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다양한 할인 조건이 적용될 때의 총비용을 비교하는 일차부등식 활용 문제입니다. 실생활에서 어떤 할인 혜택이 더 나은지 판단하는 상황과 유사합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 총비용 계산: 문제의 조건에 맞게 각 할인 방식에 따른 최종 지불 금액을 정확히 계산해야 합니다. 특히, 일부 인원에게만 할인이 적용되는 경우, 할인 대상과 비대상 인원의 비용을 구분하여 합산해야 합니다.
- 백분율 할인 계산: \(P\%\) 할인은 원래 가격의 \((1 – \frac{P}{100})\) 배를 지불하는 것과 같습니다.
- “유리하다”의 부등식 표현: 비용 문제에서 “유리하다”는 것은 “비용이 더 적다”는 의미로 해석하여 부등식 ‘<'를 사용합니다.
- 일차부등식 풀이: 이항과 양변 나눗셈 등의 과정을 통해 해의 범위를 구합니다. 음수로 나누거나 곱할 때 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의합니다.
- 자연수 해의 의미 해석: 문제의 맥락(인원수, 개수 등)에 따라 부등식의 해 범위에서 적절한 자연수 값을 찾아야 합니다.
복잡한 할인 조건을 단계별로 나누어 식으로 표현하고, 이를 바탕으로 부등식을 세워 해결하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
① 7명