사다리꼴 넓이 조건 일차부등식 문제 풀이
(윗변의 길이가 8cm이고 높이가 10cm인 사다리꼴)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 윗변의 길이와 높이가 주어진 사다리꼴의 넓이가 특정 값(100 cm²) 이상이 되도록 하는 아랫변의 길이의 범위를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 사다리꼴의 아랫변의 길이를 미지수 \(x\) cm로 설정합니다. (단, 길이는 양수여야 합니다: \(x > 0\))
- 사다리꼴 넓이 공식 적용: 사다리꼴의 넓이 공식을 이용하여 넓이를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
$$ (\text{사다리꼴 넓이}) = \frac{1}{2} \times (\text{윗변} + \text{아랫변}) \times (\text{높이}) $$
- 부등식 설정: 문제에서 주어진 조건 “넓이가 100 cm² 이상”을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 범위 해석: 구해진 \(x\)의 범위가 문제의 답이 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
사다리꼴의 아랫변의 길이를 \(x\) cm라고 설정합니다. 길이는 양수이므로 \(x > 0\)입니다.
Step 2: 사다리꼴 넓이 식으로 표현하기
주어진 값들을 사다리꼴 넓이 공식에 대입합니다.
윗변 = 8 cm
아랫변 = \(x\) cm
높이 = 10 cm
$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \times (8 + x) \times 10 $$
식을 간단히 합니다.
$$ \text{넓이} = 5 \times (8 + x) = 40 + 5x \text{ (cm²)} $$
Step 3: 부등식 설정
문제에서 “넓이가 100 cm² 이상이 되도록” 하라고 했으므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{넓이}) \ge 100 $$
$$ 40 + 5x \ge 100 $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(40 + 5x \ge 100\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
양변에서 40을 빼줍니다 (또는 40을 우변으로 이항합니다).
$$ 5x \ge 100 – 40 $$
$$ 5x \ge 60 $$
이제 양변을 5로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 5는 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \ge \frac{60}{5} $$
$$ x \ge 12 $$
Step 5: 범위 해석 및 답 결정
부등식의 해는 \(x \ge 12\)입니다. 또한, \(x\)는 길이이므로 \(x > 0\)이어야 하는데, \(x \ge 12\)는 이 조건을 만족합니다.
따라서 사다리꼴의 넓이가 100 cm² 이상이 되려면 아랫변의 길이는 12 cm 이상이어야 합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형의 넓이 공식과 일차부등식을 결합하여 해결하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 사다리꼴 넓이 공식: 사다리꼴의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times (\text{윗변} + \text{아랫변}) \times (\text{높이})\)로 계산됩니다. 공식을 정확히 암기하고 적용하는 것이 중요합니다.
- 부등식 설정: 문제에서 “이상”, “이하”, “초과”, “미만” 등의 조건을 파악하여 올바른 부등호(\(\ge, \le, >, <\))를 사용하여 식을 세워야 합니다.
- 일차부등식 풀이: 부등식의 성질을 이용하여 미지수의 범위를 구합니다. 특히, 미지수가 나타내는 값의 현실적인 제약 조건(예: 길이는 양수)을 고려해야 할 때도 있습니다.
기하학적 도형의 측정값을 조건으로 제시하고, 그 조건을 만족하는 변의 길이나 다른 요소의 범위를 부등식을 통해 구하는 문제는 다양한 도형에 대해 출제될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
12 cm 이상