직사각형 둘레 조건 일차부등식 문제 풀이
가로의 길이가 세로의 길이보다 5 cm 더 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이를 90 cm 이하가 되게 하려면 세로의 길이는 몇 cm 이하이어야 하는지 구하여라.
참고: 함께 제공된 정답 및 해설 이미지는 다른 문제(원뿔 부피)에 대한 내용으로 보여, 여기서는 직사각형 문제에 대한 올바른 풀이를 제공합니다.
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 가로와 세로 길이 사이에 관계가 주어진 직사각형의 둘레 길이가 특정 값 이하가 되도록 하는 세로 길이의 최대 범위를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 직사각형의 세로의 길이를 미지수 \(x\) cm로 설정합니다. (길이는 양수이므로 \(x > 0\))
- 가로 길이 표현: 문제 조건 “가로의 길이가 세로의 길이보다 5cm 더 길다”를 이용하여 가로의 길이를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 둘레 길이 공식 적용: 직사각형의 둘레 길이 공식을 이용하여 둘레 길이를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
$$ (\text{직사각형 둘레}) = 2 \times (\text{가로} + \text{세로}) $$
- 부등식 설정: 문제에서 주어진 조건 “둘레의 길이를 90 cm 이하가 되게 하려면”을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 범위 해석: 구해진 \(x\)의 범위가 문제에서 요구하는 세로 길이의 범위가 됩니다. “몇 cm 이하이어야 하는지” 물었으므로 최대값을 답합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
직사각형의 세로의 길이를 \(x\) cm라고 설정합니다. 길이는 양수이므로 \(x > 0\)입니다.
Step 2: 가로 길이 식으로 표현하기
가로의 길이는 세로의 길이(\(x\))보다 5 cm 더 길다고 했으므로, 가로의 길이는 \((x + 5)\) cm입니다.
Step 3: 직사각형 둘레 길이 식으로 표현하기
직사각형의 둘레 길이는 2 × (가로 + 세로)입니다. Step 1과 Step 2의 식을 대입합니다.
$$ \text{둘레} = 2 \times \{ (\text{가로}) + (\text{세로}) \} = 2 \times \{ (x + 5) + x \} $$
괄호 안을 먼저 계산합니다.
$$ \text{둘레} = 2 \times (2x + 5) $$
분배법칙을 이용하여 전개합니다.
$$ \text{둘레} = 4x + 10 \text{ (cm)} $$
Step 4: 부등식 설정
문제에서 “둘레의 길이를 90 cm 이하가 되게 하려면”이라고 했으므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{둘레}) \le 90 $$
$$ 4x + 10 \le 90 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(4x + 10 \le 90\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
양변에서 10을 빼줍니다 (또는 10을 우변으로 이항합니다).
$$ 4x \le 90 – 10 $$
$$ 4x \le 80 $$
이제 양변을 4로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 4는 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \le \frac{80}{4} $$
$$ x \le 20 $$
Step 6: 범위 해석 및 답 결정
부등식의 해는 \(x \le 20\)입니다. 또한, \(x\)는 세로의 길이이므로 \(x > 0\)이어야 합니다. 따라서 세로의 길이 \(x\)의 범위는 \(0 < x \le 20\)입니다.
문제에서 “세로의 길이는 몇 cm 이하이어야 하는지” 물었으므로, 가능한 최대값인 20 cm가 답의 기준이 됩니다.
따라서 세로의 길이는 20 cm 이하이어야 합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직사각형의 둘레 공식과 일차부등식을 이용하여 도형의 변의 길이 범위를 구하는 기본적인 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직사각형의 둘레: 직사각형의 둘레 길이는 \(2 \times (\text{가로} + \text{세로})\)로 계산됩니다.
- 미지수를 이용한 관계 표현: 문제에서 주어진 변의 길이 사이의 관계(“가로가 세로보다 5cm 더 길다”)를 미지수를 사용하여 정확하게 식으로 나타내는 것이 중요합니다.
- 부등식 설정: “이하”, “이상”, “미만”, “초과” 등의 조건을 부등호(\(\le, \ge, <, >\))를 사용하여 올바르게 부등식으로 변환해야 합니다.
- 일차부등식 풀이: 부등식의 성질을 이용하여 해의 범위를 구합니다.
- 실제적 제약 조건 고려: 도형의 길이 등은 항상 양수여야 한다는 기본적인 제약 조건을 염두에 두어야 합니다.
기하학적 도형의 측정값(둘레, 넓이 등)에 대한 조건을 부등식으로 설정하고 푸는 문제는 수학적 모델링 능력을 기르는 데 도움이 됩니다.
✅ 최종 정답
20 cm 이하
(제공된 정답 이미지의 “10cm”는 다른 문제의 답으로 보입니다.)