돈 나누기 조건 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 총 12000원을 형제에게 나누어 줄 때, 형과 동생이 받는 몫 사이에 특정 조건을 만족시키도록 하는 형의 몫의 최댓값을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 형이 받는 몫을 미지수 \(x\)원으로 설정합니다. (단, \(x \ge 0\))
- 다른 변수 표현: 동생이 받는 몫을 총금액과 형의 몫을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 문제에서 주어진 조건 “형의 몫의 2배가 동생의 몫의 4배 이하가 되게 하려면”을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최댓값 결정: 구해진 \(x\)의 범위 내에서 형이 받을 수 있는 최대 금액을 답합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
형이 받는 몫을 \(x\)원이라고 설정합니다. 금액이므로 \(x \ge 0\)입니다.
Step 2: 동생의 몫 식으로 표현하기
총금액이 12000원이므로, 형이 \(x\)원을 받으면 동생이 받는 몫은 총금액에서 형의 몫을 뺀 금액입니다.
$$ \text{동생의 몫} = 12000 – x \text{ (원)} $$
동생의 몫도 0원 이상이어야 하므로 \(12000 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 12000\)입니다.
Step 3: 부등식 설정
문제의 조건은 “형의 몫의 2배가 동생의 몫의 4배 이하”입니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$ 2 \times (\text{형의 몫}) \le 4 \times (\text{동생의 몫}) $$
$$ 2x \le 4(12000 – x) $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(2x \le 4(12000 – x)\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
먼저 우변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ 2x \le 4 \times 12000 – 4 \times x $$
$$ 2x \le 48000 – 4x $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 좌변으로, 상수항은 우변에 그대로 둡니다. \(-4x\)를 좌변으로 이항하면 \(+4x\)가 됩니다.
$$ 2x + 4x \le 48000 $$
동류항을 계산합니다.
$$ 6x \le 48000 $$
이제 양변을 6으로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 6은 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \le \frac{48000}{6} $$
$$ x \le 8000 $$
Step 5: 최댓값 결정
부등식의 해는 \(x \le 8000\)입니다. 또한, Step 1과 Step 2에서 고려한 조건 \(0 \le x \le 12000\)과 공통 범위를 구해도 \(x \le 8000\)입니다.
문제에서 “형이 받는 몫은 최대 얼마인가?”라고 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 8000입니다.
따라서 형이 받는 몫은 최대 8000원입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 조건을 만족하도록 총량을 나누는 비율을 찾는 일차부등식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정 및 관계식 표현: 문제에서 구하고자 하는 값(형의 몫)을 미지수로 설정하고, 다른 값(동생의 몫)을 미지수와의 관계(총합 이용)로 표현하는 것이 중요합니다.
- 부등식 설정: 문제의 조건(“~배가 ~배 이하”)을 부등식으로 정확하게 옮기는 능력이 필요합니다.
- 일차부등식 풀이: 부등식의 성질을 이용하여 미지수의 범위를 구합니다. 이항하거나 양변에 수를 곱하거나 나눌 때 부호에 주의합니다.
- 최댓값/최솟값 찾기: 부등식의 해 범위 내에서 문제에서 요구하는 최댓값 또는 최솟값을 찾습니다.
실생활에서 예산을 분배하거나 자원을 나누는 등 다양한 상황에서 조건을 만족하는 범위를 찾을 때 부등식이 유용하게 사용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
⑤ 8000원