표준 체중과 비만도 계산 문제 풀이
키가 \(h\) cm인 성인의 표준 체중과 비만도는 다음과 같이 구한다.
$$ \text{표준 체중} = (h – 100) \times 0.9 \, (\text{kg}) $$
$$ \text{비만도} = \frac{(\text{현재 체중})}{(\text{표준 체중})} \times 100 \, (\%) $$
비만도가 120% 이상이면 비만이라고 할 때, 키가 150 cm인 성인의 현재 체중이 몇 kg 이상이면 비만인지 구하여라.
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 공식에 따라 특정 키의 표준 체중을 계산하고, 비만으로 판정되는 비만도 기준을 이용하여 현재 체중의 범위를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 표준 체중 계산: 키가 150 cm인 성인의 표준 체중을 주어진 공식을 이용하여 계산합니다.
- 미지수 설정: 현재 체중을 미지수 \(x\) kg으로 설정합니다. (체중이므로 \(x > 0\))
- 비만도 식으로 표현: 비만도 공식을 이용하여 키 150 cm인 사람의 비만도를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다. (Step 1에서 계산한 표준 체중 값을 사용합니다.)
- 부등식 설정: 비만이 되는 조건 “비만도가 120% 이상”을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 체중 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 비만으로 판정되는 체중 범위이며, 문제에서 “몇 kg 이상”이라고 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 키 150 cm 성인의 표준 체중 계산
키 \(h = 150\) cm를 표준 체중 공식에 대입합니다.
$$ \text{표준 체중} = (150 – 100) \times 0.9 $$
$$ = 50 \times 0.9 = 45 \, (\text{kg}) $$
따라서 키 150 cm인 성인의 표준 체중은 45 kg입니다.
Step 2: 미지수 설정 및 비만도 식으로 표현
현재 체중을 \(x\) kg이라고 설정합니다.
비만도 공식을 이용하여 비만도를 \(x\)로 나타냅니다. 표준 체중은 Step 1에서 구한 45 kg입니다.
$$ \text{비만도} = \frac{x}{45} \times 100 \, (\%) $$
Step 3: 부등식 설정
비만도가 120% 이상이면 비만이라고 했으므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{비만도}) \ge 120 $$
$$ \frac{x}{45} \times 100 \ge 120 $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{100x}{45} \ge 120\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
먼저 분수 계수를 간단히 합니다. \(\frac{100}{45} = \frac{20}{9}\) 입니다.
$$ \frac{20}{9}x \ge 120 $$
양변에 \(\frac{9}{20}\)를 곱하여 \(x\)의 범위를 구합니다. \(\frac{9}{20}\)는 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \ge 120 \times \frac{9}{20} $$
계산합니다.
$$ x \ge \frac{120}{20} \times 9 = 6 \times 9 = 54 $$
따라서 \(x \ge 54\) 입니다.
Step 5: 최소 체중 결정
부등식의 해는 \(x \ge 54\)입니다. 이는 현재 체중이 54 kg 이상일 때 비만으로 판정된다는 의미입니다.
문제에서 “몇 kg 이상이면 비만인지 구하여라”라고 물었으므로, 답은 54 kg입니다.
따라서 현재 체중이 54 kg 이상이면 비만입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 공식을 이해하고 적용하여 일차부등식을 세우고 푸는 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 공식 대입 및 계산: 주어진 공식에 문제에서 제시된 특정 값(키 \(h=150\))을 정확히 대입하여 필요한 값(표준 체중)을 계산합니다.
- 미지수를 포함한 식 세우기: 구하고자 하는 값(현재 체중)을 미지수로 설정하고, 다른 공식(비만도)에 미지수와 계산된 값을 사용하여 식을 만듭니다.
- 부등식 설정: 문제의 조건(“비만도가 120% 이상”)을 부등식으로 올바르게 표현합니다.
- 일차부등식 풀이: 분수 계수를 포함한 일차부등식을 풀 때는 양변에 적절한 수를 곱하여 계수를 정수로 만들거나, 분수 상태 그대로 계산합니다. 양변에 곱하거나 나누는 수의 부호에 따라 부등호 방향이 바뀌는지 확인하는 것이 중요합니다.
이와 같이 특정 지표(비만도, 지수 등)를 계산하는 공식이 주어지고, 그 지표의 특정 범위를 만족하는 변수(체중, 점수 등)의 범위를 묻는 문제는 다양한 분야에서 응용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
54 kg 이상