거리, 속력, 시간 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 총 이동 거리가 주어지고, 이동 경로가 서로 다른 속력으로 나누어져 있을 때, 총 소요 시간이 특정 값 이내가 되도록 하는 한 구간의 최소 거리를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “시속 6 km로 걸은 거리”를 미지수 \(x\) km로 설정합니다. (거리는 양수이므로 \(x > 0\))
- 다른 구간 거리 표현: 총 거리가 10 km이므로, 시속 2 km로 걸은 거리를 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 시간 계산 공식 활용: 각 구간별로 걸린 시간을 (거리) / (속력) 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 총 걸린 시간이 2시간 이내라는 조건을 이용하여, 각 구간별 걸린 시간의 합이 2 이하가 된다는 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 거리 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 시속 6 km로 걸은 거리의 범위이며, 문제에서 “최소 몇 km인지” 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
시속 6 km로 걸은 거리를 \(x\) km라고 설정합니다. 거리는 0보다 크고 총 거리 10 km를 넘을 수 없으므로 \(0 \le x \le 10\) 입니다. (실제로는 최소 거리를 묻고 있으므로 \(x > 0\)일 가능성이 높습니다.)
Step 2: 시속 2 km로 걸은 거리 표현
M 지점에서 N 지점까지의 총 거리는 10 km입니다. 이 중 시속 6 km로 \(x\) km를 걸었으므로, 나머지 거리는 시속 2 km로 걸었습니다.
$$ \text{시속 2 km로 걸은 거리} = (\text{총 거리}) – (\text{시속 6 km로 걸은 거리}) = 10 – x \text{ (km)} $$
이 거리도 0 이상이어야 하므로 \(10 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 10\)입니다.
Step 3: 각 구간별 걸린 시간 계산
시간 = 거리 / 속력 공식을 이용합니다.
시속 6 km로 걸은 시간:
$$ T_1 = \frac{x}{6} \text{ (시간)} $$
시속 2 km로 걸은 시간:
$$ T_2 = \frac{10 – x}{2} \text{ (시간)} $$
Step 4: 부등식 설정
총 걸린 시간이 2시간 이내라고 했으므로, 두 구간에서 걸린 시간의 합이 2 이하가 되어야 합니다.
$$ T_1 + T_2 \le 2 $$
$$ \frac{x}{6} + \frac{10 – x}{2} \le 2 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{x}{6} + \frac{10 – x}{2} \le 2\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
분모 6과 2의 최소공배수인 6을 양변에 곱하여 분수를 없앱니다. 6은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 6 \times \left( \frac{x}{6} + \frac{10 – x}{2} \right) \le 6 \times 2 $$
$$ 6 \times \frac{x}{6} + 6 \times \frac{10 – x}{2} \le 12 $$
$$ x + 3(10 – x) \le 12 $$
괄호를 풀어줍니다.
$$ x + 30 – 3x \le 12 $$
동류항을 계산합니다.
$$ -2x + 30 \le 12 $$
상수항 30을 우변으로 이항합니다.
$$ -2x \le 12 – 30 $$
$$ -2x \le -18 $$
양변을 -2로 나눕니다. 음수로 나누었으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x \ge \frac{-18}{-2} $$
$$ x \ge 9 $$
Step 6: 최소 거리 결정
부등식의 해는 \(x \ge 9\)입니다. 또한, Step 1과 Step 2에서 구한 \(0 \le x \le 10\)과 공통 범위를 구하면 여전히 \(9 \le x \le 10\)입니다.
문제에서 “시속 6 km로 걸은 거리는 최소 몇 km인지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 작은 값은 9입니다.
따라서 시속 6 km로 걸은 거리는 최소 9 km입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 거리, 속력, 시간 사이의 관계를 이용하여 일차부등식을 세우고 푸는 대표적인 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 거리, 속력, 시간의 관계:
- \((\text{거리}) = (\text{속력}) \times (\text{시간})\)
- \((\text{속력}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{시간})}\)
- \((\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}\)
- 미지수 설정 및 구간 나누기: 문제에서 구하고자 하는 값을 미지수로 설정하고, 전체 경로를 속력이 다른 구간으로 나누어 각 구간의 거리, 속력, 시간을 명확히 구분하는 것이 중요합니다.
- 부등식 설정: 총 시간, 총 거리 등에 대한 제한 조건(“~ 이내”, “~ 이상” 등)을 부등식으로 올바르게 표현해야 합니다.
- 일차부등식 풀이: 분수 계수를 포함하는 부등식을 풀 때는 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 만들어 푸는 것이 일반적입니다. 부등호 방향 변화에 유의합니다.
- 최소값/최대값 찾기: 부등식의 해 범위 내에서 문제에서 요구하는 최소값 또는 최대값을 찾습니다.
거리, 속력, 시간 문제는 다양한 형태로 출제될 수 있으며, 각 요소 간의 관계를 파악하고 조건을 부등식으로 정확히 모델링하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
9 km