거리, 속력, 시간 일차부등식 문제 풀이 (불가능한 값 찾기)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 총 이동 거리가 주어지고, 이동 경로가 서로 다른 속력으로 나누어져 있을 때, 총 소요 시간이 특정 값 미만이 되도록 하는 한 구간의 거리의 범위를 구하고, 그 범위에 속하지 않는 값을 보기에서 찾는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 총 소요 시간 계산: 출발 시각(정오 = 12시)과 도착 시각(오후 8시 전)을 이용하여 가능한 총 소요 시간의 상한선을 파악합니다.
- 미지수 설정: “시속 80 km로 달린 구간의 거리”를 미지수 \(x\) km로 설정합니다. (거리는 0 이상 총 거리 이하: \(0 \le x \le 600\))
- 다른 구간 거리 표현: 총 거리가 600 km이므로, 시속 60 km로 달린 거리를 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 시간 계산 공식 활용: 각 구간별로 걸린 시간을 (거리) / (속력) 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 총 걸린 시간이 Step 1에서 파악한 시간 상한선 미만이라는 조건을 이용하여, 각 구간별 걸린 시간의 합이 해당 시간보다 작다는 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 불가능한 값 찾기: 주어진 보기 중에서 구해진 \(x\)의 범위에 속하지 않는 값을 찾습니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 총 소요 시간 범위 파악
정오(12시)에 출발하여 오후 8시(20시) 전에 리조트에 도착했습니다.
만약 정확히 오후 8시에 도착했다면 걸린 시간은 \(20 – 12 = 8\)시간입니다.
오후 8시 전에 도착했으므로, 총 소요 시간은 8시간 미만입니다.
$$ \text{총 소요 시간} < 8 \text{ (시간)} $$
Step 2: 미지수 설정 및 다른 구간 거리 표현
시속 80 km로 달린 구간의 거리를 \(x\) km라고 설정합니다. \(0 \le x \le 600\) 입니다.
총 거리가 600 km이므로, 시속 60 km로 달린 구간의 거리는 다음과 같습니다.
$$ \text{시속 60 km로 달린 거리} = 600 – x \text{ (km)} $$
이 거리도 0 이상이어야 하므로 \(600 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 600\)입니다.
Step 3: 각 구간별 걸린 시간 계산
시간 = 거리 / 속력 공식을 이용합니다.
시속 80 km로 달린 시간:
$$ T_1 = \frac{x}{80} \text{ (시간)} $$
시속 60 km로 달린 시간:
$$ T_2 = \frac{600 – x}{60} \text{ (시간)} $$
Step 4: 부등식 설정
총 걸린 시간이 8시간 미만이어야 하므로, 두 구간에서 걸린 시간의 합이 8보다 작아야 합니다.
$$ T_1 + T_2 < 8 $$
$$ \frac{x}{80} + \frac{600 – x}{60} < 8 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{x}{80} + \frac{600 – x}{60} < 8\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
분모 80과 60의 최소공배수인 240을 양변에 곱하여 분수를 없앱니다. 240은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 240 \times \left( \frac{x}{80} + \frac{600 – x}{60} \right) < 240 \times 8 $$
$$ (240 \times \frac{x}{80}) + (240 \times \frac{600 – x}{60}) < 1920 $$
$$ 3x + 4(600 – x) < 1920 $$
괄호를 풀어줍니다.
$$ 3x + 2400 – 4x < 1920 $$
동류항을 계산합니다.
$$ -x + 2400 < 1920 $$
상수항 2400을 우변으로 이항합니다.
$$ -x < 1920 - 2400 $$
$$ -x < -480 $$
양변에 -1을 곱합니다. 음수를 곱했으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x > 480 $$
Step 6: 범위 확인 및 불가능한 값 찾기
부등식의 해는 \(x > 480\)입니다. 또한, \(x\)는 거리이므로 \(x \le 600\)이어야 합니다. 따라서 시속 80 km로 달린 거리 \(x\)의 범위는 \(480 < x \le 600\)입니다.
이제 보기 중에서 이 범위에 속하지 않는 값을 찾습니다.
- 480 km: \(x > 480\)이므로 480은 포함되지 않습니다.
- 510 km: \(480 < 510 \le 600\)이므로 가능합니다.
- 540 km: \(480 < 540 \le 600\)이므로 가능합니다.
- 570 km: \(480 < 570 \le 600\)이므로 가능합니다.
- 600 km: \(480 < 600 \le 600\)이므로 가능합니다. (등호 포함)
따라서 시속 80 km로 달린 구간의 거리가 될 수 없는 값은 480 km입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 유사하게 거리, 속력, 시간의 관계와 일차부등식을 활용하지만, 최종적으로는 해의 범위에 속하지 않는 값을 찾는 방식으로 질문합니다. 핵심 개념은 동일합니다.
- 거리, 속력, 시간 공식: \((\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}\)
- 시간 조건 파악: “오후 8시 전”과 같이 시각으로 주어진 조건을 “총 소요 시간 < 8시간"과 같이 시간의 범위로 변환하는 것이 중요합니다.
- 미지수 설정 및 관계식: 구하고자 하는 거리(\(x\))를 미지수로 설정하고, 나머지 거리(\(600-x\))를 표현합니다.
- 부등식 설정 및 풀이: 총 시간이 8시간 미만이라는 조건을 이용하여 부등식을 세우고 해를 구합니다. 부등호(‘<') 사용에 주의합니다.
- 해의 범위 해석: 구해진 해의 범위(\(x > 480\))와 현실적인 제약(\(x \le 600\))을 모두 고려하여 최종 범위를 확정(\(480 < x \le 600\))하고, 이 범위에 속하지 않는 보기를 선택합니다.
문제에서 “될 수 없는 것”을 묻는 경우, 부등식의 해를 구한 후 그 해의 범위에 포함되지 않는 값을 찾는 방식으로 접근해야 합니다.
✅ 최종 정답
① 480km