산책 거리, 속력, 시간 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 갈 때와 올 때의 속력과 거리 관계가 다르고, 총 걸린 시간이 제한되어 있을 때, 유민이가 걸은 전체 거리의 최댓값을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 갈 때 걸은 거리를 미지수 \(x\) km로 설정합니다. (거리는 양수여야 하므로 \(x > 0\))
- 올 때 거리 표현: 올 때는 갈 때보다 1 km 더 먼 길을 걸었으므로, 올 때 걸은 거리를 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 시간 계산 공식 활용: 갈 때 걸린 시간과 올 때 걸린 시간을 각각 (거리) / (속력) 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 총 걸린 시간이 1시간 이내라는 조건을 이용하여, 갈 때와 올 때 걸린 시간의 합이 1 이하가 된다는 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 총 거리 계산 및 최댓값 결정: 유민이가 걸은 총 거리를 \(x\)에 대한 식으로 나타내고, 구해진 \(x\)의 범위 내에서 총 거리가 최대가 되는 값을 계산합니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
갈 때 걸은 거리를 \(x\) km라고 설정합니다. 거리는 0보다 커야 하므로 \(x > 0\)입니다.
Step 2: 올 때 걸은 거리 표현
올 때는 갈 때(\(x\) km)보다 1 km 더 먼 길을 걸었으므로, 올 때 걸은 거리는 \((x + 1)\) km입니다.
이 거리도 양수여야 하므로 \(x + 1 > 0\), 즉 \(x > -1\)인데, Step 1의 조건 \(x > 0\)에 의해 자동 만족됩니다.
Step 3: 각 구간별 걸린 시간 계산
시간 = 거리 / 속력 공식을 이용합니다.
갈 때 걸린 시간 (속력: 시속 2 km):
$$ T_{\text{갈 때}} = \frac{x}{2} \text{ (시간)} $$
올 때 걸린 시간 (속력: 시속 4 km):
$$ T_{\text{올 때}} = \frac{x + 1}{4} \text{ (시간)} $$
Step 4: 부등식 설정
산책하는 데 걸린 총 시간이 1시간 이내라고 했으므로, 갈 때와 올 때 걸린 시간의 합이 1 이하가 되어야 합니다.
$$ T_{\text{갈 때}} + T_{\text{올 때}} \le 1 $$
$$ \frac{x}{2} + \frac{x + 1}{4} \le 1 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{x}{2} + \frac{x + 1}{4} \le 1\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
분모 2와 4의 최소공배수인 4를 양변에 곱하여 분수를 없앱니다. 4는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 4 \times \left( \frac{x}{2} + \frac{x + 1}{4} \right) \le 4 \times 1 $$
$$ (4 \times \frac{x}{2}) + (4 \times \frac{x + 1}{4}) \le 4 $$
$$ 2x + (x + 1) \le 4 $$
괄호를 풀고 동류항을 계산합니다.
$$ 3x + 1 \le 4 $$
상수항 1을 우변으로 이항합니다.
$$ 3x \le 4 – 1 $$
$$ 3x \le 3 $$
양변을 3으로 나눕니다. 3은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \le \frac{3}{3} $$
$$ x \le 1 $$
Step 6: 갈 때 거리의 범위 확정
부등식의 해는 \(x \le 1\)입니다. 또한, Step 1에서 거리는 양수여야 하므로 \(x > 0\)입니다.
따라서 갈 때 걸은 거리 \(x\)의 범위는 \(0 < x \le 1\) km 입니다.
Step 7: 총 걸은 거리 계산 및 최댓값 결정
유민이가 걸은 총 거리는 갈 때 걸은 거리와 올 때 걸은 거리의 합입니다.
$$ \text{총 거리} = (\text{갈 때 거리}) + (\text{올 때 거리}) = x + (x + 1) = 2x + 1 \text{ (km)} $$
총 거리가 최대가 되려면, \(x\) 값이 최대일 때입니다. Step 6에서 \(x\)의 최댓값은 1 km 입니다.
따라서 총 거리의 최댓값은 \(x = 1\)을 대입하여 계산합니다.
$$ \text{최대 총 거리} = 2(1) + 1 = 3 \text{ (km)} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 거리, 속력, 시간 사이의 관계를 이용하며, 특히 경로가 나뉘고 각 구간의 조건이 다를 때 일차부등식을 세워 해결하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 거리, 속력, 시간 공식: \((\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}\) 관계를 정확히 이용하여 각 구간의 시간을 식으로 나타냅니다.
- 미지수 설정 및 관계 표현: 문제에서 구하고자 하는 값과 직접적으로 관련된 양(갈 때 거리)을 미지수로 설정하고, 다른 양(올 때 거리, 총 거리)을 이 미지수로 표현합니다.
- 부등식 설정: 총 시간, 총 거리 등에 대한 제한 조건(“~ 이내”, “~ 이하” 등)을 부등식으로 올바르게 표현합니다.
- 일차부등식 풀이: 부등식의 성질을 이용하여 미지수의 범위를 구합니다. 분수 계수가 있는 경우, 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 변환하면 계산이 편리합니다.
- 최댓값/최솟값 찾기: 부등식의 해 범위 내에서 문제에서 최종적으로 요구하는 값(총 거리)의 최댓값 또는 최솟값을 찾습니다. 이를 위해 총 거리를 미지수에 대한 식으로 나타내고 해의 경계값을 이용합니다.
왕복 경로 문제에서 갈 때와 올 때의 조건(거리, 속력 등)이 다른 경우, 각 경우를 구분하여 식으로 표현하고 전체 조건을 만족하는 부등식을 세우는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
최대 3 km