시간 제약 거리 계산 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제한된 시간(30분) 안에 편의점에 다녀와야 하는 상황에서, 물건 사는 데 걸리는 시간(15분)과 걷는 속력(시속 2km)을 고려하여 집에서 최대 몇 미터(m) 이내에 있는 편의점을 이용할 수 있는지 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 집에서 편의점까지의 거리를 미지수 \(x\) km로 설정합니다. (나중에 m로 변환 필요)
- 단위 통일: 시간 단위를 ‘시간(hour)’으로 통일합니다. (총 여유 시간, 물건 사는 시간)
- 시간 계산:
- 편의점까지 걸어가는 데 걸리는 시간을 계산합니다. (시간 = 거리 / 속력)
- 편의점에서 집으로 돌아오는 데 걸리는 시간을 계산합니다. (거리는 동일)
- 물건 사는 시간을 더하여 총 소요 시간을 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 총 소요 시간이 주어진 여유 시간(30분 = 0.5시간) 이내여야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 최대 허용 거리(km)를 구합니다.
- 단위 변환 및 답 결정: 구해진 최대 거리를 km에서 m로 변환하여 답을 구합니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 단위 통일
집에서 편의점까지의 거리를 \(x\) km라고 설정합니다. 거리는 양수이므로 \(x > 0\)입니다.
주어진 시간들을 ‘시간(hour)’ 단위로 통일합니다.
- 총 여유 시간: 30분 = \(\frac{30}{60}\) 시간 = \(\frac{1}{2}\) 시간 (또는 0.5 시간)
- 물건 사는 시간: 15분 = \(\frac{15}{60}\) 시간 = \(\frac{1}{4}\) 시간 (또는 0.25 시간)
- 걷는 속력: 시속 2 km (단위: km/h)
Step 2: 총 소요 시간 식으로 표현하기
총 소요 시간은 (가는 시간) + (물건 사는 시간) + (오는 시간) 입니다.
가는 시간 (거리 \(x\) km, 속력 2 km/h):
$$ T_{\text{가는 시간}} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{2} \text{ (시간)} $$
오는 시간 (거리 \(x\) km, 속력 2 km/h):
$$ T_{\text{오는 시간}} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{2} \text{ (시간)} $$
물건 사는 시간:
$$ T_{\text{쇼핑}} = \frac{1}{4} \text{ (시간)} $$
따라서 총 소요 시간은 다음과 같습니다.
$$ \text{총 소요 시간} = T_{\text{가는 시간}} + T_{\text{쇼핑}} + T_{\text{오는 시간}} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} \text{ (시간)} $$
동류항을 정리하면,
$$ \text{총 소요 시간} = \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4} = x + \frac{1}{4} \text{ (시간)} $$
Step 3: 부등식 설정
총 소요 시간이 여유 시간(30분 = \(\frac{1}{2}\) 시간) 이내여야 하므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{총 소요 시간}) \le (\text{여유 시간}) $$
$$ x + \frac{1}{4} \le \frac{1}{2} $$
Step 4: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(x + \frac{1}{4} \le \frac{1}{2}\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
양변에서 \(\frac{1}{4}\)을 빼줍니다 (또는 \(\frac{1}{4}\)을 우변으로 이항합니다).
$$ x \le \frac{1}{2} – \frac{1}{4} $$
우변을 계산합니다. \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\) 이므로,
$$ x \le \frac{2}{4} – \frac{1}{4} $$
$$ x \le \frac{1}{4} $$
따라서 집에서 편의점까지의 거리는 최대 \(\frac{1}{4}\) km 입니다.
Step 5: 단위 변환 및 답 결정
부등식의 해는 \(x \le \frac{1}{4}\) km 입니다. 문제에서는 거리를 미터(m) 단위로 묻고 있습니다. 1 km = 1000 m 이므로 단위를 변환합니다.
$$ \frac{1}{4} \text{ km} = \frac{1}{4} \times 1000 \text{ m} = 250 \text{ m} $$
따라서 \(x \le 250\) m 입니다.
문제에서 “몇 m 이내에 있는 편의점을 이용할 수 있는지” 물었으므로, 이용 가능한 편의점은 집에서 250 m 이내에 있어야 합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 거리, 속력, 시간의 관계를 이용하여 제한된 시간 내에 왕복 및 특정 활동(쇼핑)을 완료할 수 있는 최대 거리를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 단위 통일: 문제에 여러 단위(km, m, 시간, 분)가 혼재되어 있을 경우, 계산의 일관성을 위해 하나의 단위 체계(예: km와 시간)로 통일하는 것이 중요합니다. 최종 답을 요구하는 단위로 마지막에 변환합니다.
- 시간 계산 공식: \((\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})}\) 공식을 정확히 적용합니다.
- 총 소요 시간 계산: 왕복 이동 시간과 중간 활동 시간을 모두 합하여 총 소요 시간을 구해야 합니다.
- 부등식 설정: “시간 이내”라는 조건을 부등호 \(\le\)를 사용하여 올바르게 표현합니다.
- 일차부등식 풀이 및 단위 변환: 부등식을 풀어 미지수의 범위를 구하고, 문제에서 요구하는 단위로 최종 결과를 변환합니다.
시간 제약이 있는 이동 문제는 실생활과 밀접하게 연관되며, 부등식을 활용하여 가능한 활동 범위나 필요한 최소/최대 속력 등을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
250 m 이내