중2수학 – 유형 – 12225135  – 59번

Step 1: 초기 설탕물의 상태 파악

물 300 g에 설탕 50 g을 넣어 설탕물을 만들었습니다.

• 초기 설탕의 양 = 50 g
• 초기 설탕물의 양 (용액의 양) = 물의 양 + 설탕의 양 = 300 g + 50 g = 350 g

Step 2: 미지수 설정

더 넣는 물의 양을 $x$ g이라고 설정합니다. 물의 양은 0 이상이므로 $x\ge 0$입니다.

Step 3: 물 추가 후의 설탕물 상태 표현

물을 $x$ g 더 넣으면 설탕물의 총량은 변하지만, 설탕의 양은 그대로 유지됩니다.

• 변화 후 설탕의 양 = 50 g
• 변화 후 설탕물의 양 = (초기 설탕물의 양) + (추가한 물의 양) = 350 g + $x$ g = $(350+x)$ g

Step 4: 농도 공식 적용 및 부등식 설정

물 추가 후 설탕물의 농도가 10% 이상이 되어야 합니다. 농도 공식을 이용하여 부등식을 세웁니다.

$$(\text{변화 후 농도})=\frac{(\text{변화 후 설탕의 양})}{(\text{변화 후 설탕물의 양})}\times 100\ge 10$$

$$\frac{50}{350+x}\times 100\ge 10$$

Step 5: 부등식 풀이

세워진 부등식 $\frac{5000}{350+x}\ge 10$을 $x$에 대해 풉니다.

양변에 $(350+x)$를 곱합니다. $x\ge 0$이므로 $350+x$는 양수이고, 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.

$$5000\ge 10(350+x)$$

우변의 괄호를 풀어줍니다.

$$5000\ge 3500+10x$$

상수항 3500을 좌변으로 이항합니다.

$$5000–3500\ge 10x$$

$$1500\ge 10x$$

양변을 10으로 나눕니다. 10은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.

$$\frac{1500}{10}\ge x$$

$$150\ge x$$

즉, $x\le 150$ 입니다.

Step 6: 최대 물의 양 결정

부등식의 해는 $x\le 150$입니다. 또한, Step 2에서 $x\ge 0$이므로, 추가할 수 있는 물의 양 $x$의 범위는 $0\le x\le 150$입니다.

문제에서 “최대 몇 g의 물을 더 넣을 수 있는가?”라고 물었으므로, $x$가 가질 수 있는 가장 큰 값은 150입니다.

따라서 최대 150 g의 물을 더 넣을 수 있습니다.

해설 이미지의 부등식 $\text{color}red50\ge \frac{10}{100}\times (350+x)$ 은 농도 공식에서 $\times 100$을 생략하고 농도 10%를 분수 $\frac{10}{100}$으로 표현하여 용질의 양을 비교하는 방식으로 세워진 것입니다. $(\text{용질의 양})\ge (\text{최소 농도})\times (\text{용액의 양})$ 형태이며, 결과는 동일합니다.