설탕물 혼합 농도 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 서로 다른 농도의 설탕물을 섞어서 특정 농도 이상의 설탕물을 만들 때, 섞는 설탕물 중 하나의 양의 최대 허용치를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 각 설탕물의 설탕 양 계산: 섞기 전 각 설탕물(20% 200g, 10% \(x\)g)에 들어있는 설탕의 양을 계산합니다.
- 미지수 설정: 섞는 10% 설탕물의 양을 미지수 \(x\) g으로 설정합니다. (양은 0 이상이므로 \(x \ge 0\))
- 혼합 후 상태 표현: 두 설탕물을 섞은 후의 총 설탕물의 양과 총 설탕의 양을 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 농도 공식 적용 및 부등식 설정: 혼합 후 설탕물의 농도를 농도 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타내고, 이 농도가 18% 이상이어야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
또는, (총 설탕의 양) \(\ge\) (목표 농도) \(\times\) (총 설탕물의 양) / 100 관계를 이용할 수도 있습니다. (해설 방식) - 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 양 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 섞을 수 있는 10% 설탕물의 양의 범위이며, 문제에서 “최대 몇 g까지 섞을 수 있는가?”라고 물었으므로 범위의 최댓값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{농도}) (\%) = \frac{(\text{설탕의 양})}{(\text{설탕물의 양})} \times 100 $$
$$ (\text{설탕의 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{설탕물의 양}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
섞는 10% 설탕물의 양을 \(x\) g이라고 설정합니다. 양은 0 이상이므로 \(x \ge 0\)입니다.
Step 2: 각 설탕물에 포함된 설탕의 양 계산
섞기 전 각 설탕물에 들어있는 설탕의 양을 계산합니다.
20% 설탕물 200g에 들어있는 설탕의 양:
$$ \text{설탕 양}_1 = \frac{20}{100} \times 200 = 0.2 \times 200 = 40 \text{ (g)} $$
10% 설탕물 \(x\)g에 들어있는 설탕의 양:
$$ \text{설탕 양}_2 = \frac{10}{100} \times x = 0.1x \text{ (g)} $$
Step 3: 혼합 후의 설탕물 상태 표현
두 설탕물을 섞으면 총 설탕물의 양과 총 설탕의 양은 각각 다음과 같습니다.
- 혼합 후 총 설탕물의 양 = 200 g + \(x\) g = \((200 + x)\) g
- 혼합 후 총 설탕의 양 = 40 g + \(0.1x\) g = \((40 + 0.1x)\) g
Step 4: 농도 조건으로 부등식 설정 (방법 1: 농도 공식 직접 사용)
혼합 후 설탕물의 농도가 18% 이상이어야 합니다. 농도 공식을 이용하여 부등식을 세웁니다.
$$ (\text{혼합 후 농도}) = \frac{(\text{총 설탕의 양})}{(\text{총 설탕물의 양})} \times 100 \ge 18 $$
$$ \frac{40 + 0.1x}{200 + x} \times 100 \ge 18 $$
Step 4: 농도 조건으로 부등식 설정 (방법 2: 설탕의 양 비교, 해설 방식)
혼합 후의 총 설탕의 양은, 목표 농도(18%)인 설탕물의 총량에 포함된 설탕의 양 이상이어야 합니다.
$$ (\text{총 설탕의 양}) \ge \frac{(\text{목표 농도})}{100} \times (\text{총 설탕물의 양}) $$
$$ 40 + 0.1x \ge \frac{18}{100} \times (200 + x) $$
(두 방법으로 세운 부등식은 동일한 결과를 줍니다. 해설은 방법 2를 사용했습니다.)
Step 5: 부등식 풀이 (방법 2 기준)
부등식 \(40 + 0.1x \ge \frac{18}{100} (200 + x)\) 를 \(x\)에 대해 풉니다.
계산의 편의를 위해 양변에 100을 곱하여 분수를 없앱니다.
$$ 100(40 + 0.1x) \ge 18(200 + x) $$
$$ 4000 + 10x \ge 3600 + 18x $$
미지수 \(x\)를 포함하는 항을 우변으로, 상수항을 좌변으로 이항합니다 (또는 해설처럼 \(x\)항을 좌변으로 모아도 됩니다).
$$ 4000 – 3600 \ge 18x – 10x $$
$$ 400 \ge 8x $$
양변을 8로 나눕니다. 8은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ \frac{400}{8} \ge x $$
$$ 50 \ge x $$
즉, \(x \le 50\) 입니다.
Step 6: 최대 양 결정
부등식의 해는 \(x \le 50\)입니다. 또한, Step 1에서 \(x \ge 0\)이므로, 섞을 수 있는 10% 설탕물의 양 \(x\)의 범위는 \(0 \le x \le 50\)입니다.
문제에서 “최대 몇 g까지 섞을 수 있는가?”라고 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 50입니다.
따라서 최대 50 g까지 섞을 수 있습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 서로 다른 농도의 용액을 혼합할 때 최종 농도 조건을 만족시키는 용액의 양을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 농도 공식: \((\text{농도}) = \frac{(\text{용질 양})}{(\text{용액 양})} \times 100\), \((\text{용질 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{용액 양})\).
- 혼합 시 용질과 용액의 양 변화:
- 혼합 후 총 용액의 양 = 각 용액 양의 합
- 혼합 후 총 용질의 양 = 각 용액에 포함된 용질 양의 합
- 부등식 설정: 혼합 후 농도 조건을 부등식으로 표현하는 두 가지 방법이 있습니다.
- \(\frac{(\text{총 용질 양})}{(\text{총 용액 양})} \times 100 \ge (\text{목표 농도})\)
- \((\text{총 용질 양}) \ge \frac{(\text{목표 농도})}{100} \times (\text{총 용액 양})\)
- 일차부등식 풀이: 분수나 소수 계수를 포함한 부등식을 풀 때는 양변에 적절한 수를 곱하여 정수 계수로 만들어 푸는 것이 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다.
농도 문제는 혼합 전후의 용질의 양과 용액의 양을 정확히 파악하는 것이 가장 중요합니다.
✅ 최종 정답
① 50g