소금물 혼합 농도 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 서로 다른 농도의 소금물을 섞어 최종 혼합물의 총량이 정해져 있고(600g), 그 농도가 특정 값 이상이 되도록 할 때, 섞는 소금물 중 하나의 양의 최대 허용치를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 섞는 8% 소금물의 양을 미지수 \(x\) g으로 설정합니다. (양은 0 이상이고, 총량이 600g이므로 \(0 \le x \le 600\))
- 다른 소금물 양 표현: 총 혼합물의 양이 600g이므로, 섞는 16% 소금물의 양을 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 각 소금물의 소금 양 계산: 섞기 전 각 소금물(8% \(x\)g, 16% \((600-x)\)g)에 들어있는 소금의 양을 계산합니다.
- 혼합 후 소금의 양 계산: 두 소금물을 섞었을 때 포함된 총 소금의 양을 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 부등식 설정: 혼합 후 소금물의 농도가 10% 이상이어야 한다는 조건을 이용하여 부등식을 세웁니다. 해설처럼 총 소금의 양을 비교하는 방식 \((\text{총 소금의 양}) \ge \frac{(\text{목표 농도})}{100} \times (\text{총 소금물의 양})\)을 사용합니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 양 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 섞을 수 있는 8% 소금물의 양의 범위이며, 문제에서 “최대 몇 g까지 섞을 수 있는지” 물었으므로 범위의 최댓값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{소금의 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{소금물의 양}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
섞는 8% 소금물의 양을 \(x\) g이라고 설정합니다. 양은 0 이상이고 총량이 600g이므로 \(0 \le x \le 600\)입니다.
Step 2: 16% 소금물의 양 표현
최종적으로 만들려는 소금물의 총량이 600g입니다. 8% 소금물을 \(x\)g 섞었다면, 16% 소금물은 나머지 양만큼 섞어야 합니다.
$$ \text{16% 소금물의 양} = 600 – x \text{ (g)} $$
이 양도 0 이상이어야 하므로 \(600 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 600\)입니다.
Step 3: 각 소금물에 포함된 소금의 양 계산
소금의 양 = (농도/100) × (소금물의 양) 공식을 이용합니다.
8% 소금물 \(x\)g에 들어있는 소금의 양:
$$ \text{소금 양}_1 = \frac{8}{100} \times x = 0.08x \text{ (g)} $$
16% 소금물 \((600 – x)\)g에 들어있는 소금의 양:
$$ \text{소금 양}_2 = \frac{16}{100} \times (600 – x) = 0.16(600 – x) \text{ (g)} $$
Step 4: 혼합 후 총 소금의 양 계산
두 소금물을 섞었을 때, 혼합물에 포함된 총 소금의 양은 각 소금물에 있던 소금 양의 합입니다.
$$ \text{총 소금의 양} = \text{소금 양}_1 + \text{소금 양}_2 $$
$$ = 0.08x + 0.16(600 – x) \text{ (g)} $$
Step 5: 농도 조건으로 부등식 설정
최종 혼합물 600g의 농도가 10% 이상이어야 합니다. 해설과 같이 총 소금의 양을 비교하는 방식으로 부등식을 세웁니다.
$$ (\text{혼합 후 총 소금의 양}) \ge \frac{(\text{목표 농도})}{100} \times (\text{최종 소금물의 양}) $$
$$ 0.08x + 0.16(600 – x) \ge \frac{10}{100} \times 600 $$
계산의 편의를 위해 양변에 100을 곱하여 소수점과 분수를 없앱니다.
$$ 100 \times [0.08x + 0.16(600 – x)] \ge 10 \times 600 $$
$$ 8x + 16(600 – x) \ge 6000 $$
Step 6: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(8x + 16(600 – x) \ge 6000\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
괄호를 풀어줍니다.
$$ 8x + 16 \times 600 – 16x \ge 6000 $$
$$ 8x + 9600 – 16x \ge 6000 $$
동류항을 계산합니다.
$$ -8x + 9600 \ge 6000 $$
상수항 9600을 우변으로 이항합니다.
$$ -8x \ge 6000 – 9600 $$
$$ -8x \ge -3600 $$
양변을 -8로 나눕니다. 음수로 나누었으므로 부등호의 방향이 바뀝니다.
$$ x \le \frac{-3600}{-8} $$
$$ x \le 450 $$
Step 7: 최대 양 결정
부등식의 해는 \(x \le 450\)입니다. 또한, Step 1과 Step 2에서 \(0 \le x \le 600\)이므로, 공통 범위는 \(0 \le x \le 450\)입니다.
문제에서 “8%의 소금물은 최대 몇 g까지 섞을 수 있는지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 450입니다.
따라서 8%의 소금물은 최대 450 g까지 섞을 수 있습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 유사하게 서로 다른 농도의 용액을 혼합하여 특정 조건을 만족시키는 상황을 다루는 일차부등식 활용 문제입니다. 차이점은 최종 혼합물의 총량이 정해져 있다는 것입니다. 핵심 개념은 동일합니다.
- 농도 공식 및 소금의 양 계산: \((\text{소금 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{소금물 양})\)을 이용하여 각 소금물에 포함된 소금의 양을 계산합니다.
- 총량 고정 시 미지수 설정: 최종 혼합물의 총량이 정해져 있을 경우, 한 용액의 양을 \(x\)로 두면 다른 용액의 양은 (총량 – \(x\))로 표현할 수 있습니다.
- 혼합 후 총 소금의 양: 섞이는 각 용액의 소금 양의 합으로 계산됩니다.
- 부등식 설정: 최종 농도 조건을 (총 소금의 양)과 (총 소금물의 양)을 이용하여 부등식으로 나타냅니다.
- 일차부등식 풀이 및 최댓값/최솟값 찾기: 부등식을 풀어 해의 범위를 구하고, 문제에서 요구하는 최댓값 또는 최솟값을 찾습니다.
소금물 농도 문제는 소금의 양을 기준으로 식을 세우는 것이 계산이 더 간편한 경우가 많습니다. 혼합 전후 소금의 총량은 변하지 않는다는 점(단, 소금을 더 넣거나 빼는 경우 제외)과 각 단계별 소금물과 소금의 양을 명확히 파악하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
450g