평균 점수 변화 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 전체 학생 수가 주어지고, 두 번의 시험 사이 일부 학생들의 점수 변화 정보와 2회 시험의 전체 평균 조건이 주어졌을 때, 1회 시험 점수의 최소 평균을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 1회 수학 시험 점수의 평균을 미지수 \(x\)점으로 설정합니다.
- 총점 계산: 평균과 총점의 관계 (\((\text{총점}) = (\text{평균}) \times (\text{학생 수})\))를 이용하여 1회 시험의 총점을 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 2회 시험 총점 계산: 1회 시험 총점에 점수가 변동된 학생들의 총 점수 변화량을 더하여 2회 시험의 총점을 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 2회 시험 평균 식으로 표현: 2회 시험의 평균을 (2회 시험 총점) / (전체 학생 수) 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 2회 시험 평균이 75점 이상이라는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 평균 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 1회 시험 평균의 범위이며, 문제에서 “최소 몇 점인지” 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{평균}) = \frac{(\text{총점})}{(\text{자료의 개수})} \quad \Leftrightarrow \quad (\text{총점}) = (\text{평균}) \times (\text{자료의 개수}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 기본 정보 확인
1회 수학 시험 점수의 평균을 \(x\)점이라고 설정합니다.
전체 학생 수는 45명입니다.
Step 2: 1회 시험 총점 계산
평균이 \(x\)점이고 학생 수가 45명이므로, 1회 시험의 총점은 다음과 같습니다.
$$ \text{1회 총점} = (\text{1회 평균}) \times (\text{학생 수}) = x \times 45 = 45x \text{ (점)} $$
Step 3: 2회 시험 총점 계산
2회 시험에서는 12명의 학생이 1회 시험에 비해 평균 6점씩 올랐고, 나머지 학생들(\(45 – 12 = 33\)명)의 점수는 변화가 없었습니다.
점수가 오른 12명의 총 점수 증가량은 다음과 같습니다.
$$ \text{총 점수 증가량} = (\text{점수 오른 학생 수}) \times (\text{평균 증가 점수}) = 12 \times 6 = 72 \text{ (점)} $$
점수가 변하지 않은 33명의 점수 총합은 1회 때와 동일합니다.
따라서 2회 시험의 총점은 1회 시험 총점에 총 점수 증가량을 더한 값입니다.
$$ \text{2회 총점} = (\text{1회 총점}) + (\text{총 점수 증가량}) = 45x + 72 \text{ (점)} $$
Step 4: 2회 시험 평균 식으로 표현 및 부등식 설정
2회 시험의 평균은 (2회 시험 총점) / (전체 학생 수) 입니다.
$$ \text{2회 평균} = \frac{\text{2회 총점}}{45} = \frac{45x + 72}{45} $$
문제에서 2회 시험 평균이 75점 이상이라고 했으므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ \frac{45x + 72}{45} \ge 75 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{45x + 72}{45} \ge 75\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
양변에 45를 곱하여 분모를 없앱니다. 45는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 45x + 72 \ge 75 \times 45 $$
$$ 45x + 72 \ge 3375 $$
상수항 72를 우변으로 이항합니다.
$$ 45x \ge 3375 – 72 $$
$$ 45x \ge 3303 $$
양변을 45로 나눕니다. 45는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \ge \frac{3303}{45} $$
분수를 계산합니다. (직접 나누거나, 9로 약분 후 5로 나누면 편리합니다: \(\frac{367}{5}\))
$$ x \ge 73.4 $$
Step 6: 최소 평균 결정
부등식의 해는 \(x \ge 73.4\)입니다. 이는 1회 수학 시험 점수의 평균이 73.4점 이상이어야 한다는 의미입니다.
문제에서 “1회 수학 시험 점수의 평균은 최소 몇 점인지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 작은 값은 73.4입니다.
따라서 1회 수학 시험 점수의 평균은 최소 73.4점입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 평균과 총점의 관계를 이용하여 그룹 내 일부의 변화가 전체 평균에 미치는 영향을 분석하고, 이를 일차부등식으로 해결하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 평균과 총점의 관계: \((\text{총점}) = (\text{평균}) \times (\text{자료의 개수})\) 이 관계는 평균 문제를 다룰 때 기본적으로 사용됩니다.
- 변화량 계산: 전체 평균의 변화는 각 자료 값의 변화량의 총합에 의해 영향을 받습니다. 이 문제에서는 점수가 변한 학생들의 총 점수 변화량만 계산하여 1회 총점에 더해주면 2회 총점을 쉽게 구할 수 있습니다.
- 부등식 설정: 평균 점수에 대한 조건(“~점 이상”)을 부등식으로 정확하게 표현해야 합니다.
- 일차부등식 풀이: 부등식의 성질을 이용하여 해의 범위를 구합니다. 분수 형태의 부등식은 양변에 분모를 곱하여 정수 형태로 만들어 푸는 것이 편리합니다.
- 최소값/최대값 해석: 부등식의 해 범위에서 문제에서 요구하는 최소값 또는 최대값을 정확히 파악하여 답합니다.
평균 문제는 총점을 기준으로 식을 세우거나 변화량을 추적하는 방식으로 접근하면 편리하게 해결할 수 있는 경우가 많습니다.
✅ 최종 정답
최소 73.4점