교통수단 요금 비교 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 5명이 이동할 때, 거리에 관계없이 요금이 일정한 버스와 이동 거리에 따라 요금이 변하는 택시 중 어느 것이 더 유리한지(비용이 적게 드는지)를 판단하는 일차부등식 활용 문제입니다. 특히, 택시 요금이 특정 구간 이후 추가 요금이 붙는 방식임을 고려해야 합니다.
- 총 인원 확인: 5명이 이동합니다.
- 버스 요금 계산: 5명이 버스를 이용할 때의 총 요금을 계산합니다.
- 미지수 설정: 이동 거리를 미지수 \(x\) km로 설정합니다. (단, \(x\)는 이동 거리이므로 \(x > 0\))
- 택시 요금 식으로 표현: 이동 거리 \(x\) km에 따른 택시 요금을 식으로 나타냅니다. 택시 요금은 기본요금 구간(2km까지)과 추가 요금 구간(2km 초과)으로 나뉩니다.
- 2km 초과 시 200m(0.2km)당 100원 추가되므로, 1km당 500원 추가되는 것으로 계산합니다.
- 택시 요금 = 기본요금 + 추가요금 = \(2400 + 500 \times (x – 2)\) (단, \(x > 2\)일 때)
- 부등식 설정: “택시를 타고 가는 것이 유리하다”는 것은 “택시 요금이 버스 총 요금보다 작다”는 의미이므로, 이를 \(x\)에 대한 일차부등식으로 나타냅니다. (\(x > 2\) 가정 하에 세웁니다.)
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 거리 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 택시가 더 유리한 거리 범위이며, 문제에서 “몇 km 미만이면”이라고 물었으므로 범위의 상한값을 답합니다. 이 범위가 \(x > 2\) 가정과 일치하는지 확인합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 5명의 버스 총 요금 계산
버스 요금은 1인당 1200원으로 일정합니다. 5명이 타므로 총 버스 요금은 다음과 같습니다.
$$ \text{총 버스 요금} = 1200 \times 5 = 6000 \text{ (원)} $$
Step 2: 미지수 설정 및 택시 요금 분석
이동 거리를 \(x\) km라고 설정합니다. \(x > 0\).
택시 요금 구조는 다음과 같습니다.
- 2 km까지: 기본요금 2400원
- 2 km 초과 시: 200 m (0.2 km) 마다 100원 추가
추가 요금을 km당 요금으로 환산합니다.
$$ \text{1 km당 추가 요금} = \frac{100 \text{원}}{0.2 \text{km}} = \frac{1000 \text{원}}{2 \text{km}} = 500 \text{원/km} $$
따라서 2 km를 초과한 거리 \((x – 2)\) km에 대해서는 km당 500원의 추가 요금이 발생합니다. (단, 이 식은 \(x > 2\)일 때 의미가 있습니다.)
Step 3: 택시 요금 식으로 표현 ( \(x > 2\) 가정)
이동 거리 \(x\) km (\(x > 2\))에 대한 총 택시 요금은 기본요금과 추가 요금의 합입니다.
$$ \text{택시 요금} = (\text{기본요금}) + (\text{추가 요금}) $$
$$ = 2400 + (1 \text{km당 추가 요금}) \times (\text{초과 거리}) $$
$$ = 2400 + 500 \times (x – 2) $$
괄호를 풀어 정리합니다.
$$ = 2400 + 500x – 1000 $$
$$ = 500x + 1400 \text{ (원)} $$
이 식은 \(x\)가 정확히 2.0, 2.2, 2.4, … km 일 때 요금이 증가하는 것을 완전히 반영하지는 못하지만, 부등식 문제를 푸는 데는 일반적으로 이 연속적인 모델을 사용합니다.
Step 4: 부등식 설정
“택시를 타고 가는 것이 버스를 타고 가는 것보다 유리하다”는 것은 택시 요금이 총 버스 요금보다 작다는 의미입니다.
$$ (\text{택시 요금}) < (\text{총 버스 요금}) $$
$$ 500x + 1400 < 6000 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(500x + 1400 < 6000\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
상수항 1400을 우변으로 이항합니다.
$$ 500x < 6000 - 1400 $$
$$ 500x < 4600 $$
양변을 500으로 나눕니다. 500은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x < \frac{4600}{500} $$
분수를 간단히 합니다.
$$ x < \frac{46}{5} = 9.2 $$
따라서 \(x < 9.2\) 입니다.
Step 6: 범위 확인 및 답 결정
부등식의 해는 \(x < 9.2\)입니다. 또한, 이 계산은 \(x > 2\)를 가정하고 진행했으므로, 택시가 유리한 \(x\)의 범위는 \(2 < x < 9.2\)입니다. (물론 \(x \le 2\)일 때는 택시 요금이 2400원으로 버스 요금 6000원보다 항상 유리하므로, 실제로는 \(0 < x < 9.2\) 범위에서 택시가 유리합니다.)
문제에서 “이동거리가 몇 km 미만이면 택시를 타고 가는 것이 유리한지” 물었습니다. 이는 택시가 유리한 \(x\) 값의 상한선을 묻는 것입니다.
따라서 이동거리가 9.2 km 미만이면 택시를 타고 가는 것이 유리합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 서로 다른 요금 체계를 가진 두 가지 선택지(교통수단)의 비용을 비교하는 일차부등식 활용 문제입니다. 특히, 특정 구간 이후 추가 요금이 발생하는 단계적인 요금 구조를 이해하는 것이 중요합니다.
- 총 비용 계산: 각 선택지에 대한 총 비용을 정확히 계산합니다. 버스는 인원수에 비례하는 고정 요금이고, 택시는 기본요금과 거리에 따른 추가 요금의 합으로 구성됩니다.
- 추가 요금 계산: 일정 구간을 초과할 때 추가 요금이 붙는 경우, 초과된 거리에 비례하여 추가 요금을 계산합니다. 단위(km당 요금)를 정확히 환산하는 것이 중요합니다.
- “유리하다”의 부등식 표현: 비용 비교 문제에서 “유리하다”는 “비용이 더 적다”는 의미로 해석하여 부등식 ‘<'를 사용합니다.
- 일차부등식 설정 및 풀이: 각 비용을 식으로 나타내고 부등식을 세운 후, 해의 범위를 구합니다.
- 범위 해석 및 답 결정: 부등식의 해가 문제의 조건(예: \(x > 2\) 가정)과 부합하는지 확인하고, 질문(“몇 km 미만”)에 맞게 해의 상한값을 답합니다.
택시 요금처럼 구간별로 요금이 달라지는 경우, 해당 구간을 나누어 생각하거나, 추가 요금이 발생하는 구간에 대한 식을 정확히 세우는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
9.2 km 미만