중2수학 – 유형 – 12225135  – 69번

Step 1: 미지수 설정 및 관련 길이 표현

$\overline{BP}=x$ cm라고 설정합니다. 점 P는 변 BC 위에 있으므로 $0\le x\le \overline{BC}$.

직사각형이므로 $\overline{AD}=\overline{BC}=20$ cm, $\overline{AB}=\overline{CD}=12$ cm.

따라서 $0\le x\le 20$ 입니다.

또한, $\overline{PC}=\overline{BC}–\overline{BP}=20–x$ cm.

M은 CD의 중점이므로, $\overline{CM}=\overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{CD}=\frac{1}{2}\times 12=6$ cm.

Step 2: 각 부분의 넓이 계산

넓이를 계산할 각 도형의 넓이를 구합니다.

• 직사각형 ABCD 넓이 = $\overline{AD}\times \overline{AB}=20\times 12=240$ cm²
• $\mathrm{△}ABP$ 넓이 = $\frac{1}{2}\times \overline{BP}\times \overline{AB}=\frac{1}{2}\times x\times 12=6x$ cm²
• $\mathrm{△}PCM$ 넓이 = $\frac{1}{2}\times \overline{PC}\times \overline{CM}=\frac{1}{2}\times (20–x)\times 6=3(20–x)=60–3x$ cm²
• $\mathrm{△}ADM$ 넓이 = $\frac{1}{2}\times \overline{AD}\times \overline{DM}=\frac{1}{2}\times 20\times 6=60$ cm²

Step 3: $\mathrm{△}APM$ 넓이 식으로 표현하기

$\mathrm{△}APM$의 넓이는 전체 직사각형 넓이에서 주변 세 직각삼각형의 넓이를 뺀 값입니다.

$$\text{Area}(\mathrm{△}APM)=\text{Area}(ABCD)–\text{Area}(\mathrm{△}ABP)–\text{Area}(\mathrm{△}PCM)–\text{Area}(\mathrm{△}ADM)$$

$$=240–(6x)–(60–3x)–(60)$$

괄호를 풀고 정리합니다.

$$=240–6x–60+3x–60$$

$$=(240–60–60)+(-6x+3x)$$

$$=120–3x\text{ (cm²)}$$

Step 4: 부등식 설정

문제에서 “$\mathrm{△}APM$의 넓이가 72 cm² 이하가 되도록” 하라고 했으므로, 다음 부등식을 세울 수 있습니다.

$$\text{Area}(\mathrm{△}APM)\le 72$$

$$120–3x\le 72$$

Step 5: 부등식 풀이

세워진 부등식 $120–3x\le 72$를 $x$에 대해 풉니다.

$-3x$ 항을 우변으로, 상수 72를 좌변으로 이항하여 $x$의 계수를 양수로 만들어 풀어보겠습니다 (해설과 다른 방식).

$$120–72\le 3x$$

$$48\le 3x$$

양변을 3으로 나눕니다. 3은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.

$$\frac{48}{3}\le x$$

$$16\le x$$

즉, $x\ge 16$ 입니다.

(해설 방식: $120–3x\le 72\Rightarrow -3x\le 72–120\Rightarrow -3x\le -48\Rightarrow x\ge \frac{-48}{-3}\Rightarrow x\ge 16$)

Step 6: 범위 확인 및 최소 거리 결정

부등식의 해는 $x\ge 16$입니다. 또한, Step 1에서 점 P는 변 BC 위에 있으므로 $0\le x\le 20$입니다. 두 범위의 공통 부분은 $16\le x\le 20$입니다.

문제에서 “점 B에서 몇 cm 이상 떨어진 곳에 점 P를 잡으면 되는가?”라고 물었습니다. 이는 조건을 만족하는 $x$의 최소값을 묻는 것입니다.

따라서 점 B에서 16 cm 이상 떨어진 곳에 점 P를 잡으면 됩니다.