출근 시간 제약 거리, 속력, 시간 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 정해진 출근 시간(오전 10시)까지 회사에 도착하기 위해, 출발 시간(오전 9시 40분)과 총 거리(2km), 그리고 이동 중 속력 변화(걷기/뛰기)가 주어졌을 때, 걸어간 거리의 최대치를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 총 소요 시간 계산: 출발 시각과 도착 시각 상한선을 이용하여 회사까지 가는 데 허용된 총 시간을 계산합니다.
- 단위 통일: 거리 단위를 ‘미터(m)’로, 속력 단위를 ‘분속(m/min)’으로, 시간 단위를 ‘분(minute)’으로 통일합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “걸은 거리”를 미지수 \(x\) m로 설정합니다.
- 뛴 거리 표현: 총 거리를 이용하여 뛴 거리를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 시간 계산 공식 활용: 걸은 시간과 뛴 시간을 각각 (거리) / (속력) 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 부등식 설정: 총 걸린 시간(걸은 시간 + 뛴 시간)이 Step 1에서 계산한 허용된 총 시간 이내여야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 거리 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 걸은 거리의 범위이며, 문제에서 “최대 몇 m인지” 물었으므로 범위의 최댓값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 총 소요 시간 계산 및 단위 통일
출발 시각은 오전 9시 40분이고, 도착해야 하는 시각은 오전 10시까지입니다. 따라서 허용된 총 시간은 10시 – 9시 40분 = 20분입니다.
총 소요 시간은 20분 이내여야 합니다: \(\text{총 소요 시간} \le 20\) 분.
단위를 ‘미터(m)’와 ‘분(minute)’으로 통일합니다.
- 총 거리: 2 km = 2000 m
- 걷는 속력: 분속 50 m (단위: m/min)
- 뛰는 속력: 분속 150 m (단위: m/min)
Step 2: 미지수 설정 및 뛴 거리 표현
회사원이 걸은 거리를 \(x\) m라고 설정합니다. 거리는 0 이상 총 거리 이하이므로 \(0 \le x \le 2000\)입니다.
총 거리가 2000 m이므로, 뛴 거리는 다음과 같습니다.
$$ \text{뛴 거리} = (\text{총 거리}) – (\text{걸은 거리}) = 2000 – x \text{ (m)} $$
뛴 거리도 0 이상이어야 하므로 \(2000 – x \ge 0\), 즉 \(x \le 2000\)입니다.
Step 3: 걸은 시간과 뛴 시간 계산
시간 = 거리 / 속력 공식을 이용합니다.
걸은 시간 (거리 \(x\) m, 속력 50 m/min):
$$ T_{\text{걸은 시간}} = \frac{x}{50} \text{ (분)} $$
뛴 시간 (거리 \(2000 – x\) m, 속력 150 m/min):
$$ T_{\text{뛴 시간}} = \frac{2000 – x}{150} \text{ (분)} $$
Step 4: 부등식 설정
총 걸린 시간(걸은 시간 + 뛴 시간)이 허용된 총 시간(20분) 이내여야 합니다.
$$ T_{\text{걸은 시간}} + T_{\text{뛴 시간}} \le 20 $$
$$ \frac{x}{50} + \frac{2000 – x}{150} \le 20 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{x}{50} + \frac{2000 – x}{150} \le 20\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
분모 50과 150의 최소공배수인 150을 양변에 곱하여 분수를 없앱니다. 150은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 150 \times \left( \frac{x}{50} + \frac{2000 – x}{150} \right) \le 150 \times 20 $$
$$ (150 \times \frac{x}{50}) + (150 \times \frac{2000 – x}{150}) \le 3000 $$
$$ 3x + (2000 – x) \le 3000 $$
괄호를 풀고 동류항을 계산합니다.
$$ 2x + 2000 \le 3000 $$
상수항 2000을 우변으로 이항합니다.
$$ 2x \le 3000 – 2000 $$
$$ 2x \le 1000 $$
양변을 2로 나눕니다. 2는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \le \frac{1000}{2} $$
$$ x \le 500 $$
Step 6: 최대 거리 결정
부등식의 해는 \(x \le 500\)입니다. 또한, Step 2에서 \(0 \le x \le 2000\)이었으므로, 공통 범위는 \(0 \le x \le 500\)입니다.
문제에서 “걸은 거리는 최대 몇 m인지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 500입니다.
따라서 회사원이 걸은 거리는 최대 500 m입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 시간 제약 조건 하에서 거리, 속력, 시간의 관계를 이용하는 일차부등식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 시간 계산: 출발 시각과 도착 시각을 이용하여 허용된 총 시간을 정확히 계산해야 합니다.
- 단위 통일: 거리(km, m), 속력(시속, 분속), 시간(시, 분) 단위를 일관되게 통일하는 것이 계산 실수를 줄이는 데 중요합니다. 문제에서 주어진 속력 단위(분속)와 시간 단위(분)를 기준으로 거리를 미터(m)로 통일하는 것이 편리했습니다.
- 시간 = 거리 / 속력 공식 활용: 속력이 다른 각 구간별 이동 시간을 계산하는 데 이 공식을 적용합니다.
- 총 시간 부등식 설정: 각 구간의 시간 합이 주어진 총 허용 시간 “이내”(\(\le\))가 되도록 부등식을 세웁니다.
- 일차부등식 풀이 및 최댓값 해석: 부등식을 풀어 미지수(걸은 거리)의 범위를 구하고, 문제에서 요구하는 최댓값을 찾습니다.
제한된 시간 안에 이동을 완료해야 하는 문제는 일상생활에서도 자주 접할 수 있으며, 부등식을 통해 이동 방법이나 경로 선택에 대한 계획을 세울 수 있습니다.
✅ 최종 정답
500m