소금물 농도 변화 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 처음 주어진 소금물에서 물을 증발시키고, 증발시킨 물의 양만큼 소금을 다시 넣었을 때, 농도가 특정 값 이상이 되도록 하기 위한 최소 증발량을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 중요한 점은 물이 증발한 만큼 소금을 넣었으므로 소금물의 전체 양은 변하지 않는다는 것입니다.
- 초기 상태 파악: 처음 소금물의 총량과 소금의 양을 계산합니다.
- 미지수 설정: 증발시키는 물의 양(동시에 추가하는 소금의 양)을 미지수 \(x\) g으로 설정합니다. (양은 0 이상)
- 변화 후 상태 표현: 물 증발과 소금 추가 후의 최종 소금의 양과 최종 소금물의 양을 \(x\)를 이용하여 나타냅니다.
- 농도 공식 적용 및 부등식 설정: 변화 후 소금물의 농도를 농도 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타내고, 이 농도가 30% 이상이어야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
또는, (최종 소금의 양) \(\ge\) (목표 농도) \(\times\) (최종 소금물의 양) / 100 관계를 이용할 수도 있습니다. (해설 방식) - 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 물의 양 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 증발시켜야 하는 물의 양의 범위이며, 문제에서 “최소 몇 g인가?”라고 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{농도}) (\%) = \frac{(\text{소금의 양})}{(\text{소금물의 양})} \times 100 $$
$$ (\text{소금의 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{소금물의 양}) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 초기 소금물의 상태 파악
18%의 소금물 300g이 있습니다.
- 초기 소금물의 양 = 300 g
- 초기 소금의 양 = \(\frac{18}{100} \times 300 = 0.18 \times 300 = 54\) g
Step 2: 미지수 설정
증발시키는 물의 양을 \(x\) g이라고 설정합니다. 문제 조건에 따라, 추가하는 소금의 양도 \(x\) g입니다. 증발시키는 양은 0 이상이어야 하므로 \(x \ge 0\)입니다.
Step 3: 변화 후의 소금물 상태 표현
물 \(x\) g을 증발시키고 소금 \(x\) g을 넣습니다.
- 소금의 양 변화: 처음 소금 54 g에 \(x\) g의 소금을 추가했으므로, 최종 소금의 양은 \((54 + x)\) g 입니다.
- 소금물의 양 변화: 처음 300 g에서 물 \(x\) g이 줄어들고, 소금 \(x\) g이 늘어났습니다. 따라서 총량 변화는 \(-x + x = 0\) 입니다. 즉, 최종 소금물의 양은 처음과 같은 300 g 입니다.
- 최종 소금의 양 = \(54 + x\) g
- 최종 소금물의 양 = 300 g
Step 4: 농도 조건으로 부등식 설정 (방법 1: 농도 공식 직접 사용)
변화 후 소금물의 농도가 30% 이상이어야 합니다. 농도 공식을 이용하여 부등식을 세웁니다.
$$ (\text{최종 농도}) = \frac{(\text{최종 소금의 양})}{(\text{최종 소금물의 양})} \times 100 \ge 30 $$
$$ \frac{54 + x}{300} \times 100 \ge 30 $$
Step 4: 농도 조건으로 부등식 설정 (방법 2: 소금의 양 비교, 해설 방식)
최종 소금의 양은, 목표 농도(30%)인 소금물 300g에 포함된 소금의 양 이상이어야 합니다.
$$ (\text{최종 소금의 양}) \ge \frac{(\text{목표 농도})}{100} \times (\text{최종 소금물의 양}) $$
$$ 54 + x \ge \frac{30}{100} \times 300 $$
(두 방법으로 세운 부등식은 동일한 결과를 줍니다. 해설은 방법 2를 사용했습니다.)
Step 5: 부등식 풀이 (방법 2 기준)
부등식 \(54 + x \ge \frac{30}{100} \times 300\) 를 \(x\)에 대해 풉니다.
우변을 먼저 계산합니다.
$$ \frac{30}{100} \times 300 = 30 \times 3 = 90 $$
따라서 부등식은 다음과 같습니다.
$$ 54 + x \ge 90 $$
상수항 54를 우변으로 이항합니다.
$$ x \ge 90 – 54 $$
$$ x \ge 36 $$
Step 6: 최소 물의 양 결정
부등식의 해는 \(x \ge 36\)입니다. 이는 증발시켜야 하는 물의 양(동시에 추가해야 하는 소금의 양)이 36 g 이상이어야 한다는 의미입니다.
문제에서 “증발시켜야 하는 물은 최소 몇 g인가?”라고 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 작은 값은 36입니다.
따라서 증발시켜야 하는 물은 최소 36 g입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 용액의 농도 변화에 대한 문제로, 특히 용매(물) 증발과 용질(소금) 추가가 동시에 일어나는 상황을 다룹니다. 일차부등식을 이용하여 조건을 만족하는 최소량을 구합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 농도 공식: \((\text{농도}) = \frac{(\text{용질 양})}{(\text{용액 양})} \times 100\).
- 용질과 용액의 양 변화 추적:
- 물을 증발시키면 용매의 양과 용액의 총량이 감소합니다 (용질의 양은 불변).
- 소금을 추가하면 용질의 양과 용액의 총량이 모두 증가합니다.
- 이 문제처럼 증발시킨 물의 양과 추가한 소금의 양이 같으면, 용액의 총량은 변하지 않고 용질의 양만 증가합니다. 이 점을 파악하면 계산이 간단해집니다.
- 부등식 설정: 최종 농도 조건을 부등식으로 정확하게 표현합니다. (최종 농도) \(\ge\) (목표 농도) 또는 (최종 소금 양) \(\ge\) (목표 농도 기준 소금 양) 두 가지 방식 모두 가능합니다.
- 일차부등식 풀이 및 최소값 해석: 부등식을 풀어 해의 범위를 구하고, 문제에서 요구하는 최소값을 답합니다.
농도 문제에서는 변화 전후의 ‘소금의 양’과 ‘소금물의 양’을 각각 정확히 파악하는 것이 가장 중요합니다. 특히 이 문제에서는 소금물의 총량이 변하지 않는다는 점이 풀이를 간단하게 만드는 핵심 요소였습니다.
✅ 최종 정답
④ 36g