원가, 비용, 이익률 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 귤을 도매로 구입하고 운반하는 데 든 총비용(원가 + 추가 비용) 대비 특정 비율 이상의 이익을 얻기 위해, 개당 판매 가격에 얼마 이상의 이익률을 붙여야 하는지를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 일부 귤이 썩어서 판매할 수 없다는 점을 고려해야 합니다.
- 총비용 계산: 귤 10상자 구입 비용과 운반비를 합하여 총비용을 계산합니다. 이것이 이익 계산의 기준이 되는 총 원가 개념입니다.
- 귤 1개의 도매가격(원가) 계산: 한 상자의 도매가격과 상자당 개수를 이용하여 귤 1개의 도매가격을 계산합니다. 이 가격이 개당 판매 가격의 이익률을 계산하는 기준이 됩니다.
- 판매 가능한 귤 개수 계산: 구입한 총 귤 개수에서 썩은 귤 개수를 제외하여 실제로 판매할 수 있는 귤의 개수를 계산합니다.
- 미지수 설정: 귤 한 개의 도매가격에 붙이는 이익률을 \(x\%\)로 설정합니다.
- 개당 판매 가격 식으로 표현: 귤 1개의 도매가격에 \(x\%\)의 이익을 붙인 개당 판매 가격을 식으로 나타냅니다.
- 총 판매 수입 식으로 표현: (개당 판매 가격) × (판매 가능한 귤 개수)를 계산하여 총 판매 수입을 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 목표 이익 계산: 총비용의 20% 이상 이익을 남겨야 하므로, 목표하는 최소 총 판매 수입을 계산합니다. (최소 총 판매 수입 = 총비용 × 1.2)
- 부등식 설정: (총 판매 수입) \(\ge\) (목표 최소 총 판매 수입) 이라는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 이익률 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 필요한 이익률의 범위이며, 문제에서 “몇 % 이상”인지 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{이익}) = (\text{총 판매 수입}) – (\text{총 비용}) $$
$$ (\text{판매 가격}) = (\text{원가}) \times \left(1 + \frac{(\text{이익률})}{100}\right) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 총비용 계산
귤 한 상자의 도매가격은 30000원이고, 10상자를 구입했습니다. 운반비는 24000원입니다.
$$ \text{귤 구입 비용} = 30000 \text{원/상자} \times 10 \text{상자} = 300000 \text{원} $$
$$ \text{총비용} = (\text{귤 구입 비용}) + (\text{운반비}) = 300000 + 24000 = 324000 \text{원} $$
Step 2: 귤 1개의 도매가격(원가) 계산
한 상자에는 60개의 귤이 들어있고, 한 상자 가격은 30000원입니다.
$$ \text{귤 1개 도매가격} = \frac{30000 \text{원}}{60 \text{개}} = 500 \text{원/개} $$
Step 3: 판매 가능한 귤 개수 계산
총 10상자를 구입했고, 한 상자에 60개가 들어 있으므로 총 귤 개수는 \(10 \times 60 = 600\)개입니다.
그런데 한 상자에 6개꼴로 썩었다고 했으므로, 10상자에서 썩은 귤의 총 개수는 \(10 \times 6 = 60\)개입니다.
따라서 실제로 판매할 수 있는 귤의 개수는 다음과 같습니다.
$$ \text{판매 가능 개수} = (\text{총 개수}) – (\text{썩은 개수}) = 600 – 60 = 540 \text{개} $$
Step 4: 미지수 설정 및 개당 판매 가격 표현
귤 한 개의 도매가격(500원)에 붙이는 이익률을 \(x\%\)라고 설정합니다.
개당 판매 가격은 다음과 같습니다.
$$ \text{개당 판매 가격} = (\text{귤 1개 도매가격}) \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 500 \left(1 + \frac{x}{100}\right) \text{원} $$
Step 5: 총 판매 수입 식으로 표현
총 판매 수입은 판매 가능한 귤 개수에 개당 판매 가격을 곱한 값입니다.
$$ \text{총 판매 수입} = (\text{판매 가능 개수}) \times (\text{개당 판매 가격}) $$
$$ = 540 \times 500 \left(1 + \frac{x}{100}\right) $$
$$ = 270000 \left(1 + \frac{x}{100}\right) \text{원} $$
Step 6: 목표 최소 총 판매 수입 계산
총비용(324000원)의 20% 이상의 이익을 남기려고 합니다. 이는 총 판매 수입이 총비용의 \(100\% + 20\% = 120\%\) 이상이어야 한다는 의미입니다.
$$ \text{목표 최소 총 판매 수입} = (\text{총비용}) \times (1 + 0.20) = 324000 \times 1.2 $$
$$ = 388800 \text{원} $$
Step 7: 부등식 설정
총 판매 수입이 목표 최소 총 판매 수입 이상이어야 합니다.
$$ (\text{총 판매 수입}) \ge (\text{목표 최소 총 판매 수입}) $$
$$ 270000 \left(1 + \frac{x}{100}\right) \ge 388800 $$
Step 8: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(270000 \left(1 + \frac{x}{100}\right) \ge 388800\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
괄호를 풀어줍니다.
$$ 270000 + 270000 \times \frac{x}{100} \ge 388800 $$
$$ 270000 + 2700x \ge 388800 $$
상수항 270000을 우변으로 이항합니다.
$$ 2700x \ge 388800 – 270000 $$
$$ 2700x \ge 118800 $$
양변을 2700으로 나눕니다. 2700은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \ge \frac{118800}{2700} = \frac{1188}{27} $$
분수를 계산합니다. (\(1188 \div 27 = 44\))
$$ x \ge 44 $$
Step 9: 최소 이익률 결정
부등식의 해는 \(x \ge 44\)입니다. 이는 귤 한 개의 도매가격에 붙여야 하는 이익률이 44% 이상이어야 한다는 의미입니다.
문제에서 “몇 % 이상의 이익을 붙여서 팔아야 하는지” 물었으므로, 최소 이익률은 44%입니다.
따라서 44% 이상의 이익을 붙여서 팔아야 합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원가, 판매가, 이익, 비용 등의 개념을 종합적으로 이해하고 이를 일차부등식으로 모델링하여 해결하는 문제입니다. 특히, 총 비용 대비 목표 이익률을 달성하기 위한 개당 판매 이익률을 계산하는 과정이 포함됩니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 총 비용(Total Cost): 상품 구매 비용뿐만 아니라 운반비 등 추가적으로 발생한 모든 비용을 합산합니다. 이익 계산의 기준이 됩니다.
- 개당 원가: 총 구매 비용을 총 개수로 나누어 계산합니다. 이익률을 적용하는 기준 가격이 됩니다.
- 판매 가능 수량: 손상되거나 판매할 수 없는 상품을 제외한 실제 판매 가능한 수량을 정확히 파악해야 합니다.
- 이익 및 이익률:
- \((\text{이익}) = (\text{총 판매 수입}) – (\text{총 비용})\)
- \((\text{총 비용 대비 이익률}) = \frac{(\text{이익})}{(\text{총 비용})} \times 100\%\)
- \((\text{개당 판매 가격 이익률}) = \frac{(\text{개당 판매 가격}) – (\text{개당 원가})}{(\text{개당 원가})} \times 100\%\)
- 목표 이익 조건: “총 비용의 P% 이상 이익”은 \((\text{총 판매 수입}) \ge (\text{총 비용}) \times (1 + \frac{P}{100})\) 또는 \((\text{이익}) \ge (\text{총 비용}) \times \frac{P}{100}\) 으로 해석하여 부등식을 세울 수 있습니다.
- 일차부등식 풀이: 복잡한 수치를 포함한 일차부등식을 정확하게 계산하고 풀어 해의 범위를 구합니다.
비용, 수입, 이익 관련 문제는 각 요소를 정확히 정의하고 계산하며, 목표 조건을 올바른 부등식으로 표현하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
44% 이상