물통 채우기 시간 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 용량이 정해진 물통을 두 종류의 다른 속도(분당 유량)를 가진 호스를 이용하여 채울 때, 총 소요 시간이 특정 값 이내가 되도록 하는 한 호스의 최대 사용 시간을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 목표 용량 및 시간 확인: 채워야 할 총 물의 양(200 L)과 허용된 총 시간(17분 이내)을 확인합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “호스 E로 물을 채운 시간”을 미지수 \(x\)분으로 설정합니다. (시간은 0 이상)
- 각 호스로 채운 물의 양 계산:
- 호스 E로 \(x\)분 동안 채운 물의 양을 계산합니다. (물의 양 = 유량 × 시간)
- 호스 T로 채워야 할 남은 물의 양을 계산합니다. (남은 양 = 총 용량 – 호스 E로 채운 양)
- 호스 T 사용 시간 계산: 호스 T로 남은 물을 채우는 데 걸리는 시간을 계산합니다. (시간 = 채울 양 / 유량)
- 부등식 설정: 총 소요 시간(호스 E 사용 시간 + 호스 T 사용 시간)이 17분 이내여야 한다는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 시간 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 호스 E를 사용할 수 있는 시간의 범위이며, 문제에서 “최대 몇 분 동안 채울 수 있는지” 물었으므로 범위의 최댓값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{채운 물의 양}) = (\text{분당 유량}) \times (\text{시간}) $$
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{채워야 할 물의 양})}{(\text{분당 유량})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 기본 정보 및 미지수 설정
물통 용량 = 200 L
호스 E 유량 = 10 L/분
호스 T 유량 = 25 L/분
총 허용 시간 \(\le\) 17 분
호스 E로 물을 채운 시간을 \(x\) 분이라고 설정합니다. 시간은 0 이상이므로 \(x \ge 0\)입니다.
Step 2: 호스 E로 채운 물의 양 및 호스 T로 채워야 할 물의 양 계산
호스 E로 \(x\)분 동안 채운 물의 양:
$$ (\text{물의 양}_E) = (\text{유량}_E) \times (\text{시간}_E) = 10 \times x = 10x \text{ (L)} $$
물통을 가득 채우려면 총 200 L를 채워야 합니다. 호스 E로 \(10x\) L를 채웠으므로, 호스 T로 채워야 할 남은 물의 양은 다음과 같습니다.
$$ (\text{채워야 할 양}_T) = (\text{총 용량}) – (\text{물의 양}_E) = 200 – 10x \text{ (L)} $$
채워야 할 양은 0 이상이어야 하므로 \(200 – 10x \ge 0 \Rightarrow 10x \le 200 \Rightarrow x \le 20\) 입니다.
Step 3: 호스 T 사용 시간 계산
호스 T로 남은 물(\(200 – 10x\) L)을 채우는 데 걸리는 시간(\(T_T\))은 다음과 같습니다.
$$ T_T = \frac{(\text{채워야 할 양}_T)}{(\text{유량}_T)} = \frac{200 – 10x}{25} \text{ (분)} $$
Step 4: 부등식 설정
총 소요 시간(호스 E 사용 시간 + 호스 T 사용 시간)이 17분 이내여야 합니다.
$$ (\text{시간}_E) + T_T \le 17 $$
$$ x + \frac{200 – 10x}{25} \le 17 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(x + \frac{200 – 10x}{25} \le 17\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
분모 25를 없애기 위해 양변에 25를 곱합니다. 25는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 25 \times \left( x + \frac{200 – 10x}{25} \right) \le 25 \times 17 $$
$$ (25 \times x) + (25 \times \frac{200 – 10x}{25}) \le 425 $$
$$ 25x + (200 – 10x) \le 425 $$
괄호를 풀고 동류항을 계산합니다.
$$ (25x – 10x) + 200 \le 425 $$
$$ 15x + 200 \le 425 $$
상수항 200을 우변으로 이항합니다.
$$ 15x \le 425 – 200 $$
$$ 15x \le 225 $$
양변을 15로 나눕니다. 15는 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ x \le \frac{225}{15} $$
계산합니다. (\(225 \div 15 = 15\))
$$ x \le 15 $$
(해설 풀이 과정: \(\frac{200-10x}{25} = \frac{200}{25} – \frac{10x}{25} = 8 – \frac{2}{5}x\). 이를 대입하면 \(x + 8 – \frac{2}{5}x \le 17 \Rightarrow \frac{3}{5}x \le 9 \Rightarrow x \le 9 \times \frac{5}{3} \Rightarrow x \le 15\). 결과는 동일합니다.)
Step 6: 최대 시간 결정
부등식의 해는 \(x \le 15\)입니다. 또한, Step 1과 Step 2에서 \(0 \le x \le 20\)이었으므로, 공통 범위는 \(0 \le x \le 15\)입니다.
문제에서 “호스 E로 물을 최대 몇 분 동안 채울 수 있는지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 15입니다.
따라서 호스 E로는 최대 15분 동안 물을 채울 수 있습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 일정한 비율(유량)로 작업(물 채우기)을 수행할 때, 시간 제약 조건을 만족하는 작업 시간의 범위를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 일률(유량)과 작업량(물의 양) 및 시간의 관계:
- \((\text{작업량}) = (\text{일률}) \times (\text{시간})\)
- \((\text{시간}) = \frac{(\text{작업량})}{(\text{일률})}\)
- 미지수 설정 및 관계 표현: 문제에서 구하고자 하는 값(호스 E 사용 시간)을 미지수로 설정하고, 다른 관련된 값들(호스 E로 채운 양, 호스 T로 채워야 할 양, 호스 T 사용 시간)을 미지수를 이용하여 순차적으로 표현합니다.
- 부등식 설정: 총 소요 시간, 총 작업량 등에 대한 제한 조건(“~ 이내”)을 부등식으로 올바르게 표현합니다.
- 일차부등식 풀이 및 최댓값/최솟값 해석: 부등식을 풀어 해의 범위를 구하고, 문제에서 요구하는 최댓값 또는 최솟값을 찾습니다.
속력이 다른 두 구간을 이동하는 문제와 유사하게, 유량이 다른 두 도구를 사용하여 작업을 완료하는 문제도 각 부분에 소요되는 시간을 계산하여 총 시간을 기준으로 부등식을 세워 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
15분