강물에서의 배 속력 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 강물의 흐름이 있는 강을 배를 타고 왕복하는 상황에서, 총 소요 시간이 제한되어 있을 때, 강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 최소 속력을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다. 강물의 속력이 배의 실제 이동 속력에 영향을 미친다는 점을 고려해야 합니다.
- 강물의 영향 고려:
- 강을 따라 내려갈 때의 배의 실제 속력 = (배 자체의 속력) + (강물의 속력)
- 강을 거슬러 올라갈 때의 배의 실제 속력 = (배 자체의 속력) – (강물의 속력)
- 내려갈 때 정보 계산: 주어진 정보를 이용하여 강을 따라 내려갈 때의 실제 속력과 소요 시간을 계산합니다.
- 올라갈 때 시간 제약 파악: 총 허용 시간(14시간 이내)에서 내려갈 때 걸린 시간을 빼서, 강을 거슬러 올라가는 데 허용된 최대 시간을 계산합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 “강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력”을 미지수 \(x\) km/h로 설정합니다. (배가 올라가야 하므로, \(x\)는 강물의 속력보다 커야 합니다: \(x > 5\))
- 올라갈 때 실제 속력 및 시간 표현: 강을 거슬러 올라갈 때의 실제 속력을 \(x\)를 이용하여 나타내고, 이를 이용해 올라가는 데 걸리는 시간을 \(x\)에 대한 식으로 표현합니다. (시간 = 거리 / 실제 속력)
- 부등식 설정: 올라가는 데 걸리는 시간이 Step 3에서 계산한 허용된 최대 시간 이하가 되어야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 속력 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 올라갈 때 배 자체 속력의 범위이며, 문제에서 “시속 몇 km 이상이어야 하는지” 물었으므로 범위의 시작 값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{시간}) = \frac{(\text{거리})}{(\text{속력})} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 기본 정보 정리 및 내려갈 때 속력/시간 계산
총 거리 (편도) = 240 km
강물의 속력 = 5 km/h
총 허용 시간 \(\le\) 14 시간
내려갈 때 배 자체의 속력 = 35 km/h
강을 따라 내려갈 때의 배의 실제 속력:
$$ V_{\text{down}} = (\text{배 자체 속력}) + (\text{강물 속력}) = 35 + 5 = 40 \text{ (km/h)} $$
강을 따라 내려갈 때 걸린 시간:
$$ T_{\text{down}} = \frac{(\text{거리})}{V_{\text{down}}} = \frac{240}{40} = 6 \text{ (시간)} $$
Step 2: 올라갈 때 허용된 최대 시간 계산
왕복하는 데 총 14시간 이내가 걸려야 하고, 내려가는 데 이미 6시간이 걸렸으므로, 강을 거슬러 올라가는 데 사용할 수 있는 시간은 다음과 같습니다.
$$ T_{\text{up}} \le (\text{총 허용 시간}) – T_{\text{down}} $$
$$ T_{\text{up}} \le 14 – 6 = 8 \text{ (시간)} $$
즉, 올라가는 데 걸리는 시간은 8시간 이하여야 합니다.
Step 3: 미지수 설정 및 올라갈 때 실제 속력/시간 표현
강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력을 \(x\) km/h라고 설정합니다. 배가 강을 거슬러 올라가려면 배 자체의 속력이 강물의 속력보다 커야 하므로 \(x > 5\)입니다.
강을 거슬러 올라갈 때의 배의 실제 속력:
$$ V_{\text{up}} = (\text{배 자체 속력}) – (\text{강물 속력}) = x – 5 \text{ (km/h)} $$
강을 거슬러 올라갈 때 걸리는 시간:
$$ T_{\text{up}} = \frac{(\text{거리})}{V_{\text{up}}} = \frac{240}{x – 5} \text{ (시간)} $$
Step 4: 부등식 설정
올라가는 데 걸리는 시간(\(T_{\text{up}}\))이 Step 2에서 구한 허용된 최대 시간(8시간) 이하여야 합니다.
$$ T_{\text{up}} \le 8 $$
$$ \frac{240}{x – 5} \le 8 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{240}{x – 5} \le 8\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
먼저, \(x > 5\)이므로 분모 \(x – 5\)는 양수입니다. 따라서 양변에 \(x – 5\)를 곱해도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 240 \le 8(x – 5) $$
우변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ 240 \le 8x – 40 $$
상수항 -40을 좌변으로 이항합니다.
$$ 240 + 40 \le 8x $$
$$ 280 \le 8x $$
양변을 8로 나눕니다. 8은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ \frac{280}{8} \le x $$
계산합니다. (\(280 \div 8 = 35\))
$$ 35 \le x $$
즉, \(x \ge 35\) 입니다.
Step 6: 최소 속력 결정
부등식의 해는 \(x \ge 35\)입니다. 이는 Step 3의 조건 \(x > 5\)를 만족합니다.
문제에서 “강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력은 시속 몇 km 이상이어야 하는지” 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 작은 값은 35입니다.
따라서 강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력은 시속 35 km 이상이어야 합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 흐르는 강물에서의 배의 속력 개념과 거리, 속력, 시간 관계를 이용하여 일차부등식을 세우고 푸는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 강물에서의 속력:
- 내려갈 때 실제 속력 = 배 자체 속력 + 강물 속력
- 올라갈 때 실제 속력 = 배 자체 속력 – 강물 속력
- 시간 = 거리 / 속력: 각 구간(내려갈 때, 올라갈 때)의 시간을 계산할 때, 해당 구간에서의 ‘실제 속력’을 사용해야 합니다.
- 총 시간 제약 조건: 왕복에 걸리는 총 시간이 제한되어 있을 경우, 각 구간의 시간 합이 제한 시간 이하(\(\le\)) 또는 미만(\(<\))이 되도록 부등식을 설정합니다.
- 분수 부등식 풀이: 분모에 미지수가 포함된 부등식을 풀 때는 양변에 분모를 곱할 때 분모의 부호(양수 또는 음수)에 따라 부등호 방향이 바뀔 수 있음에 유의해야 합니다. 이 문제에서는 \(x > 5\) 조건으로 인해 분모 (\(x-5\))가 양수임을 알 수 있어 부등호 방향이 유지됩니다.
- 최소값/최대값 해석: 부등식의 해 범위(\(x \ge 35\))를 구한 후, 문제에서 요구하는 최소값(“몇 km 이상”)을 정확히 파악하여 답합니다.
강물이나 바람과 같이 외부 요인이 속력에 영향을 미치는 문제는 실제 이동 속력을 정확히 계산하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
시속 35km 이상