📌 문제 정확히 이해하기
다음 방정식이 주어졌습니다.
\[ 264x – 30 = n \]이 방정식의 해 \( x \)가 유한소수로 나타내어질 때, 자연수 \( n \) 중 가장 작은 세 자리 수를 구하세요.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 방정식의 해 \( x \)에 대해 정리하기
방정식을 \( x \)에 대해 정리하면,
\[ 264x = n + 30 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{n + 30}{264} \][Step 2] 유한소수가 되기 위한 조건 파악하기
분수가 유한소수가 되려면 기약분수로 만든 후, 분모의 소인수는 2 또는 5만 존재해야 합니다.
[Step 3] 분모(264)를 소인수분해하기
\[ 264 = 2^3 \times 3 \times 11 \]유한소수가 되기 위해서는 분자 \( n+30 \)에 소인수 3과 11이 반드시 포함되어야 합니다.
[Step 4] 유한소수 조건 정리하기
따라서 \( n+30 \)은 33(=3×11)의 배수여야 합니다.
[Step 5] 조건을 만족하는 가장 작은 세 자리 자연수 찾기
가장 작은 세 자리 수는 100입니다. 이를 이용해 최소 조건을 찾으면,
\[ n + 30 \geq 130 \]33의 배수 중 130 이상의 최소값은 132입니다.
[Step 6] 최종적으로 \( n \) 값 구하기
\[ n + 30 = 132 \quad\Rightarrow\quad n = 132 – 30 = 102 \]따라서 조건을 만족하는 가장 작은 세 자리 자연수는 102입니다.
🎯 최종 정답 확인하기
최종 정답은 다음과 같습니다.
\[ \boxed{102} \]