📌 문제 이해하기
주어진 방정식:
\[ \sqrt{(2a+1)^2} = 9 \]제곱근의 성질을 활용하여 \( a \) 의 값을 구해야 합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 제곱근의 성질을 이용한 식 변형
제곱근의 기본 성질을 이용하면:
\[ \sqrt{(2a+1)^2} = |2a+1| \]즉, 절댓값 형태로 표현할 수 있습니다:
\[ |2a+1| = 9 \][Step 2] 절댓값 방정식 풀기
절댓값 방정식 \( |2a+1| = 9 \) 을 풀기 위해, 두 가지 경우를 고려해야 합니다.
① 첫 번째 경우: \( 2a+1 \) 이 0 이상일 때
\[ 2a+1 = 9 \]양변에서 1을 빼면:
\[ 2a = 8 \]양변을 2로 나누면:
\[ a = 4 \]이 경우는 항상 성립합니다.
② 두 번째 경우: \( 2a+1 \) 이 0보다 작을 때
\[ 2a+1 = -9 \]양변에서 1을 빼면:
\[ 2a = -10 \]양변을 2로 나누면:
\[ a = -5 \]이 경우도 항상 성립합니다.
[Step 3] 모든 해의 곱 구하기
\( a \) 의 모든 값은 \( 4 \) 와 \( -5 \) 이므로, 이들의 곱을 구하면:
\[ 4 \times (-5) = -20 \]🎯 최종 정답 확인하기
따라서, 모든 해의 곱은:
\[ \boxed{-20} \]