📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 한 변의 길이가 12cm인 정사각형 모양의 색종이를, 접을 때마다 넓이가 이전의 절반이 되는 정사각형이 되도록 2번 반복하여 접었을 때, 최종적으로 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 초기 넓이 계산: 처음 정사각형의 한 변의 길이를 이용하여 넓이를 계산합니다.
- 넓이 변화 추적: 접는 과정을 한 번 거칠 때마다 넓이가 절반(\(\frac{1}{2}\))으로 줄어드는 것을 이용하여, 2번 접었을 때의 최종 정사각형 넓이를 계산합니다.
- 최종 한 변의 길이 계산: 최종 정사각형의 넓이를 이용하여 한 변의 길이를 구합니다. 정사각형의 넓이는 (한 변의 길이)² 이므로, 넓이의 양의 제곱근을 계산합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 정사각형 넓이 = (한 변의 길이)²
- 넓이가 \(S\)인 정사각형의 한 변의 길이 = \(\sqrt{S}\) (단, 길이는 양수)
- 넓이가 반으로 줄어드는 과정: 이전 넓이 × \(\frac{1}{2}\) = 다음 넓이
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 처음 정사각형의 넓이 계산
처음 정사각형의 한 변의 길이는 12 cm 입니다.
정사각형의 넓이 공식을 이용하여 처음 넓이를 계산합니다.
$$ \text{처음 넓이} = (12 \, \text{cm})^2 = 144 \, \text{cm}^2 $$
Step 2: 1번 접었을 때의 정사각형 넓이 계산
넓이가 반이 되도록 1번 접었으므로, 넓이는 처음 넓이의 절반이 됩니다.
$$ \text{1번 접은 후 넓이} = \text{처음 넓이} \times \frac{1}{2} = 144 \, \text{cm}^2 \times \frac{1}{2} = 72 \, \text{cm}^2 $$
Step 3: 2번 접었을 때의 정사각형 넓이 계산
다시 넓이가 반이 되도록 1번 더 (총 2번) 접었으므로, 넓이는 1번 접은 후 넓이의 절반이 됩니다.
$$ \text{2번 접은 후 넓이} = (\text{1번 접은 후 넓이}) \times \frac{1}{2} = 72 \, \text{cm}^2 \times \frac{1}{2} = 36 \, \text{cm}^2 $$
이것이 최종적으로 생긴 정사각형의 넓이입니다.
Step 4: 최종 정사각형의 한 변의 길이 계산
최종적으로 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 \(x\) cm라고 하면, 넓이는 \(x^2\) 입니다.
Step 3에서 구한 최종 넓이가 36 \(\text{cm}^2\) 이므로, 다음 등식이 성립합니다.
$$ x^2 = 36 $$
정사각형의 한 변의 길이 \(x\)를 구하기 위해 위 식의 양변에 양의 제곱근을 취합니다 (길이는 양수이므로).
$$ x = \sqrt{36} $$
\( 36 = 6^2 \) 이므로,
$$ x = 6 $$
따라서 최종적으로 생긴 정사각형의 한 변의 길이는 6 cm 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기하학적 변형(접기)과 넓이 계산, 그리고 제곱근 개념을 결합한 문제입니다.
- 넓이 변화 규칙 파악: 문제에서 “넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정”이라는 조건을 통해, 각 단계마다 넓이가 \( \frac{1}{2} \) 배가 된다는 규칙성을 파악하는 것이 중요합니다.
- 정사각형의 넓이와 한 변의 관계: 정사각형의 넓이 \(S\) 와 한 변의 길이 \(l\) 사이에는 \( S = l^2 \) (또는 \( l = \sqrt{S} \) ) 관계가 성립함을 이용합니다.
- 단계적 계산: 처음 상태부터 시작하여 문제에서 요구하는 단계까지 순차적으로 넓이를 계산하고, 최종 넓이로부터 한 변의 길이를 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
도형의 변화 과정에서 넓이가 어떻게 변하는지 규칙을 찾고, 넓이와 변의 길이 사이의 관계를 이용하여 답을 구하는 유형의 문제입니다.
✅ 최종 정답
2번 접은 후 생긴 정사각형의 넓이는 \(36 \, \text{cm}^2\) 이고, 한 변의 길이는 \(\sqrt{36} = 6 \, \text{cm}\) 입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.