📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 두 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하여 미지수 \(x\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 피타고라스 정리 적용: 직각삼각형에서 빗변의 길이를 \(c\), 나머지 두 변(직각을 낀 변)의 길이를 각각 \(a\), \(b\)라고 할 때, \(a^2 + b^2 = c^2\) 관계가 성립합니다.
- 미지수 \(x\) 위치 확인: 각 삼각형에서 \(x\)가 빗변인지 또는 직각을 낀 변인지를 확인합니다.
- (1) \(x\)는 빗변입니다.
- (2) \(x\)는 직각을 낀 변 중 하나입니다.
- 방정식 세우기 및 풀이: 피타고라스 정리에 주어진 변의 길이를 대입하여 \(x\)에 대한 방정식을 세우고, 이 방정식을 풀어 \(x\) 값을 구합니다.
- 양수 조건 확인: 변의 길이는 항상 양수이므로, 제곱근 계산 결과 중 양수 값을 선택합니다.
핵심 공식: 피타고라스 정리
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 \(a, b\)라 하고, 빗변의 길이를 \(c\)라 하면,
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
이를 변형하면,
- 빗변 구하기: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- 다른 변 구하기: \( a = \sqrt{c^2 – b^2} \) 또는 \( b = \sqrt{c^2 – a^2} \)
(단, \(a, b, c\)는 모두 양수)
✅ 단계별 풀이 과정
(1)번 삼각형 풀이
Step 1-1: 변의 역할 확인 및 피타고라스 정리 적용
삼각형 (1)은 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 12 cm 와 5 cm 이고, 빗변의 길이가 \(x\) cm 인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리에 따라 (빗변의 제곱) = (다른 두 변의 제곱의 합) 이므로 다음 식이 성립합니다.
$$ x^2 = 12^2 + 5^2 $$
Step 1-2: \(x^2\) 값 계산
각 변의 제곱 값을 계산합니다.
$$ 12^2 = 144 $$
$$ 5^2 = 25 $$
두 값을 더하여 \(x^2\) 값을 구합니다.
$$ x^2 = 144 + 25 = 169 $$
Step 1-3: \(x\) 값 계산
\(x^2 = 169\) 이므로, \(x\)는 169의 제곱근입니다.
$$ x = \pm \sqrt{169} $$
\(13^2 = 169\) 이므로 \( \sqrt{169} = 13 \) 입니다.
$$ x = \pm 13 $$
\(x\)는 변의 길이이므로 항상 양수여야 합니다 (\(x > 0\)).
$$ x = 13 $$
(2)번 삼각형 풀이
Step 2-1: 변의 역할 확인 및 피타고라스 정리 적용
삼각형 (2)는 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 \(x\) cm 와 7 cm 이고, 빗변의 길이가 10 cm 인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리에 따라 (직각 낀 변1)² + (직각 낀 변2)² = (빗변)² 이므로 다음 식이 성립합니다.
$$ x^2 + 7^2 = 10^2 $$
Step 2-2: \(x^2\) 값 계산
식을 \(x^2\) 에 대해 정리합니다.
$$ x^2 = 10^2 – 7^2 $$
각 변의 제곱 값을 계산합니다.
$$ 10^2 = 100 $$
$$ 7^2 = 49 $$
두 값의 차를 구하여 \(x^2\) 값을 계산합니다.
$$ x^2 = 100 – 49 = 51 $$
Step 2-3: \(x\) 값 계산
\(x^2 = 51\) 이므로, \(x\)는 51의 제곱근입니다.
$$ x = \pm \sqrt{51} $$
\(x\)는 변의 길이이므로 항상 양수여야 합니다 (\(x > 0\)).
$$ x = \sqrt{51} $$
(51은 제곱수가 아니므로 근호 밖으로 나올 수 없습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 피타고라스 정리를 직각삼각형에 적용하여 모르는 변의 길이를 구하는 기본적인 문제입니다.
- 정리 적용의 핵심: 주어진 삼각형에서 어느 변이 빗변(직각의 대변)인지 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같습니다.
- 빗변을 구할 때: 다른 두 변의 제곱을 더한 후 제곱근을 구합니다. \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- 직각을 낀 변을 구할 때: 빗변의 제곱에서 다른 직각을 낀 변의 제곱을 뺀 후 제곱근을 구합니다. \(a = \sqrt{c^2 – b^2}\)
- 길이의 양수 조건: 변의 길이는 항상 양수이므로, 제곱근 계산 결과에서 양수 값만 선택합니다.
피타고라스 정리는 직각삼각형과 관련된 다양한 문제에서 기본적으로 활용되므로 정확히 이해하고 적용하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
(1) \( x = 13 \)
(2) \( x = \sqrt{51} \)